개념기본서

고교수학

Hakchin Kim

June 24, 2021

Contents

1 Reference Sites 8

2 Concepts 10

2.1 Logic Initials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 집합 이니셜 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.3 log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.4 배수판정법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3 다항식 12

3.1 다항식의 연산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.1 다항식의 덧셈과 뺄셈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1.2 다항식의 곱셈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.1.3 곱셈 공식의 변형 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.4 다항식의 나눗셈 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2 나머지정리와 인수분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 나머지정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.2 인수분해 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 방정식과 부등식 17

4.1 복소수와 이차방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.1 복소수의 뜻과 사칙연산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.2 켤레복소수의 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1.3 i의 거듭제곱, 음수의 제곱근 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1.4 이차방정식의 판별식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.1.5 이차방정식의 근과 계수의 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 이차방정식과 이차함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.1 이차함수와 이차방정식의 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2.2 이차함수의 최대, 최소 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3 여러 가지 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.1 삼차방정식과 사차방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.3.2 연립이차방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.4 여러 가지 부등식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4.1 연립일차부등식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

4.4.2 이차부등식과 연립이차부등식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

5 도형의 방정식 21

5.1 평면좌표 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.1 두 점 사이의 거리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.1.2 선분의 내분점과 외분점 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2 직선의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5.2.1 직선의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Contents 3

5.2.2 두 직선의 위치 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

5.3 원의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3.1 원의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5.3.2 원과 직선의 위치 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.4 도형의 이동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.4.1 평행이동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

5.4.2 대칭이동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

6 집합과 명제 28

6.1 집합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1.1 집합의 뜻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1.2 집합 사이의 포함 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.1.3 집합의 연산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6.2 명제 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2.1 명제와 조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2.2 명제의 역과 대우 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2.3 필요조건과 충분조건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

6.2.4 절대부등식의 증명 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

7 함수 38

7.1 함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.1.1 함수의 뜻과 그래프 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.1.2 합성함수와 역함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.2 유리함수와 무리함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.1 유리함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

7.2.2 무리함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

8 지수함수와 로그함수 48

8.1 지수와 로그 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.1.1 거듭제곱과 거듭제곱근 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.1.2 지수의 확장 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.2 로그의 뜻과 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.3 상용로그 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

8.4 지수함수와 로그함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.4.1 지수함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.4.2 로그함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.4.3 지수함수와 로그함수의 미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

9 삼각함수 51

9.1 삼각함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.1.1 일반각 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

9.1.2 호도법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.1.3 삼각함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

9.2 삼각함수의 그래프 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.2.1 삼각함수의 그래프 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.3 사인법칙과 코사인법칙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.3.1 사인법칙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

9.3.2 코사인법칙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.3.3 다각형의 넓이 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

Contents 4

9.4 삼각함수의 미분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

10 수열 57

10.1 수열의 뜻 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10.2 등차수열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

10.2.1 중항 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

10.2.2 등차수열의 합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

10.2.3 수열의 합과 일반항 사이의 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

10.3 등비수열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10.3.1 등비수열의 합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10.3.2 등비수열의 합의 활용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10.4 수열의 합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

10.5 수학적 귀납법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

10.5.1 계차수열과 군수열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10.5.2 수열의 귀납적 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

10.5.3 귀납적으로 정의된 수열의 일반항 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

11 수열의 극한 65

11.1 수열의 수렴과 발산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11.2 수열의 극한에 대한 기본 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11.3 수열의 극한값의 계산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11.4 수열의 극한값의 대소 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11.5 등비수열의극한 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11.6 급수의 수렴과 발산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11.7 급수와 수열의 극한 사이의 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11.8 등비급수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11.9 급수의성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

12 함수의 극한과 연속 67

12.1 함수의 극한 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12.1.1 함수의 수렴과 발산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12.1.2 우극한과 좌극한 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12.1.3 함수의 극한에 대한 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12.1.4 함수의 극한의 응용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

12.2 함수의 연속 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

12.2.1 함수의 연속 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

12.2.2 연속함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

12.2.3 사잇값 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

13 미분 69

13.1 미분계수와 도함수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

13.1.1 평균변화율과 미분계수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

13.1.2 미분계수의 기하학적 의미 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

13.1.3 미분가능성과 연속성 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

13.1.4 도함수와 미분법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

13.2 도함수의 활용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13.2.1 접선의 방정식과 평균값 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13.2.2 함수의 증가와 감소 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

13.2.3 함수의 극대와 극소 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Contents 5

13.2.4 방정식과 부등식, 속도와 가속도 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

13.3 여러 가지 미분법 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

13.4 도함수의 활용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

13.4.1 접선의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

13.4.2 함수의 그래프 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

14 적분 79

14.1 부정적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

14.1.1 Reference Sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

14.2 정적분 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

14.3 정적분의 활용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

15 순열과 조합 82

15.1 경우의 수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15.1.1 합의 법칙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15.1.2 곱의 법칙 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15.2 순열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15.2.1 비중복순열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

15.2.2 중복순열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

15.3 여러가지 순열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

15.3.1 원순열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

15.3.2 같은 것이 있는 순열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

15.3.3 완전순열=교란순열 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

15.4 조합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

15.4.1 비중복조합의 수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

15.4.2 공식과 기호의 정의 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

15.4.3 중복조합 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

15.5 이항정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

15.6 분할 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

15.6.1 자연수의 분할 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

15.6.2 집합의 분할 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

16 확률 91

16.1 확률의 뜻과 활용 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

16.1.1 시행과 사건 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

16.1.2 확률의 뜻과 기본 성질 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

16.1.3 확률의 덧셈정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

16.2 조건부확률 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

16.2.1 조건부확률 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

16.2.2 사건의 독립과 종속 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

16.2.3 독립시행의 확률 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

17 통계 93

17.1 기초용어 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

17.2 확률변수와 확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

17.2.1 확률변수 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

17.2.2 이산확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

17.2.3 연속확률분포 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

17.2.4 이항분포와 정규분포 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

Contents 6

17.3 통계적 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

17.3.1 모집단과 표본 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

17.3.2 표본평균의 분포와 모평균의 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

17.3.3 표본비율의 분포와 모비율의 추정 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

18 기하기초 108

18.1 피타고라스 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

18.2 원과직선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

18.3 Hilbert’s axioms . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

18.4 유클리드원론 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

19 일차변환과 행렬 111

20 평면곡선 112

20.1 이차곡선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

20.1.1 포물선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

20.1.2 타원 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

20.1.3 쌍곡선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

20.2 평면곡선의 접선 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

20.2.1 음함수의 미분법과 접선의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

20.2.2 매개변수로 나타낸 함수의 미분법과 접선의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

20.2.3 기울기가 주어졌을 때 접선의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

21 공간벡터 118

21.0.1 직선의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

21.0.2 평면의 방정식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

22 공간도형 120

22.1 기본 지식 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

22.2 위치 관계 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

22.3 평행과 수직 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

22.3.1 직선과 평면의 평행과 수직 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

22.4 삼수선의 정리 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

22.5 이면각 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

22.6 정사영, orthograph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

22.7 공간좌표 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

22.7.1 Reference Sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

23 평면벡터 133

23.1 벡터의 연산 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

23.2 평면벡터의 성분과 내적 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

23.3 평면 운동 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

서문

본 책을 집필함에 있어 고민했던 것 중의 하나는 단순하게 서술하면서 고등학생 수준에서 이해할 수 있도록

서술하는 부분이었습니다. 일반 개념기본서보다는 추상적으로 집필되었으나 고등학생이 이해할 수 있도

록 적절한 타협을 통하여 유연한 전개가 되도록 노력하였습니다. 엄밀한 사용은 아니었으나 Deﬁnition,

Theorem 등의 용어를 사용하였습니다.

학생들에게는 고등학교 생활 동안 본 개념기본서를 중심으로 시중의 여러 문제기본서들을 함께 숙지하기

를 권고합니다.

아래의 몇 가지 원칙을 적용합니다.

1. 이 책은 개념서이다.

2. 말이 많은 책은 지양한다.

설명이 이야기식으로 되기를 원한다면 유사 개념서를 보도록 권한다. 그러나 결국 이 책이면

충분하다는 결론에 도달할 수 있도록 노력하였다.

좋은 글귀가 필요하다면, 처세술과 인생서를 따로 찾아보길 권한다. 자라나는 시기에 그러한

책들은 큰 자양분이 된다. 가능하면 소설로는 오래된 명작을, 처세서나 철학서 또한 가능하면 오래된

유명인의 책을 권한다. 그리고 그 다음 마음껏 분야와 시대를 넓혀서 읽기를 권한다.

3. It’s better when it’s simple

1 Reference Sites

• List of mathematical symbols

• Intro Probability Theory

• 논문통계과외

• 수학원리응용센터

• link-삼각형 넓이 공식

• link-왜 곱셈을 먼저 할까?

• link-Mathematical proof

• link-List of logic symbols

• link-Symbol Contradiction

• List of mathematical abbreviations

• Contradiction

• 삼각함수 공식 자연스럽게 외우기

• 임의의 사각형의 각 변의 중점을 연결하여 만든 사각형은 평행사변형이다.

• Introduction to Higher Mathematics - 수학 홈페이지 만들 때 참조

• (m,n) = Gcd(n, Mod(m, n))

• Euclidean Algorithm - 나무위키

• 개인적으로 유용하다고 생각되는 교과외 공식 8개

• godingMath-이항분포 평균 분산 증명-여기 쭉 볼 만 하다.

• 로피탈 정리의 기하학적 의미

1.3를 참조하라

Figure 1.1: A caption, explaining that this is a test.

1 Reference Sites 9

Figure 1.2: absolute size test for images

Figure 1.3: relative size test for images

Figure 1.4: relative size test for images

2 Concepts

2.1 Logic Initials

• S −cond : a suﬃcient condition

• N − cond : a necessary condition; a requirement

2.2 집합 이니셜

• U : Universal set

• Z : ganze Zahl(Integer)

• Q : Quotient(Rational number)

• P = R \Q : Irrational number

• E : Interval [0,1]

• I : An Interval

• C : Complex number

• N : Natural number

• W = N ∪{0} : Whole number

• R : Real number

• F : Set of functions

• S : Solutions of equations, inequalities, etc.

•

I(R) : Set of functions which are strictly increasing on R.

•

i(R) : Set of functions which are monotonically increasing on R.

• PIN : Purely Imaginary Number

• PN : Prime Numbers

2.3 log

Deﬁnition 2.3.1 (log). a

= N ⇐⇒ m = log

• At this time, we call m은 a를 밑으로 하는 N의 로그

• N은 log

N의 진수

2.4 배수판정법 11

2.4 배수판정법

• 2의배수 : 마지막 한 자리가 2의 배수

• 3의배수 : 각 자리의 수 합이 3의 배수

• 4의배수 : 마지막 두 자리가 4의 배수 (100은 4의 배수)

• 5의배수 : 마지막 한 자리가 5의 배수

• 6의배수 : 2의 배수이고 3의 배수 (짝수이면서 각 자리의 수 합이 3의 배수)

• 8의배수 : 마지막 3자리가 8의 배수 (1000은 8의 배수)

• 9의배수 : 각 자리의 수 합이 9의 배수

3 다항식

3.1 다항식의 연산

3.1.1 다항식의 덧셈과 뺄셈

Deﬁnition 3.1.1 (단항식).

1. 수와 문자의 곱으로 이루어진 식을 단항식이라 한다.

2. 단항식에서 특정 문자에 대하여 곱해진 문자의 개수를 단항식의 차수라 하고, 그 문자를 제외한

부분을 계수라 한다.

Deﬁnition 3.1.2 (다항식).

1. 한 개 이상의 단항식의 합으로 이루어진 식을 다항식이라 하고, 다항식을 이루고 있는 각각의 단항

식을 항이라 한다.

2. 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수를 다항식의 차수라 한다.

3. 특정 문자를 포함하지 않는 항을 상수항, 특정 문자에 대하여 차수가 같은 항을 동류항이라 한다.

Deﬁnition 3.1.3 (다항식에 대한 용어).

1. 항: 다항식에 포함된 각각의 단항식

2. 계수: 항에서 특정 문자를 제외한 나머지 부분

3. 항의 차수: 항에서 특정 문자가 곱해진 개수

4. 다항식의 차수: 다항식에서 차수가 가장 높은 항의 차수

5. 상수항: 문자없이 수만으로 이루어진 항

6. 동류항: 문자와 차수가 같은 항

Figure 3.1: 다항식에 대한 용어

Deﬁnition 3.1.4 (다항식의 정리).

1. 내림차순: 특정 문자에 대하여 차수가 높은 항부터 낮은 항의 순서로 나타내는 것

3.1 다항식의 연산 13

2. 오름차순: 특정 문자에 대하여 차수가 낮은 항부터 높은 항의 순서로 나타내는 것

Example 3.1.1 (다항식 2xy + 3x

− y

+ 4x + 1).

• x에 대하여 내림차순으로 정리 ⇒ 3x

+ (2y + 4)x − y

+ 1

• x에 대하여 오름차순으로 정리 ⇒ −y

+ 1 + (2y + 4)x + 3x

Deﬁnition 3.1.5 (다항식의 덧셈과 뺄셈).

1. 다항식의 덧셈: 두 다항식 A, B에 대하여 A+B 는 동류항끼리 모은 후, 계수를 더하여 간단히 정리한

식이다.

2. 다항식의 뺄셈: 두 다항식 A, B에 대하여 AB 는 다항식 A에 다항식 B의 각 항의 부호를 바꾼 B 를

더한 식이다.

Note (다항식의 덧셈과 뺄셈).

다항식의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같은 순서로 한다.

Figure 3.2: 다항식의 덧셈과 뺄셈

1. 괄호가 있는 경우 괄호를 푼다.

2. 한 문자에 대하여 내림차순으로 정리한다.

3. 동류항끼리 모아서 계산한다.

Theorem 3.1.1 (다항식의 덧셈에 대한 성질).

세 다항식 A, B, C에 대하여

1. 교환법칙: A+B=B+A

2. 결합법칙: (A+B)+C=A+(B+C) L99 괄호를 생략하여 A+B+C로 나타내기도 한다.

3.1.2 다항식의 곱셈

Deﬁnition 3.1.6 (다항식의 곱셈).

두 다항식 A, B 에 대하여 AB는 분배법칙과 지수법칙을 이용하여 전개하고, 동류항끼리 모아 정리한

식이다.

Theorem 3.1.2 (지수법칙).

a, b는 실수, m, n은 자연수일 때, 다음 법칙이 성립한다.

1. 어쩌구

2. 저쩌구

3.1 다항식의 연산 14

곱셈공식

1. (a + b)

= a

+ 2ab + b

(a − b)

= a

− 2ab + b

2. (a + b)(a − b) = a

− b

3. (ax + b)(cx + d) = acx

+ (ad + bc)x + bd

4. (x + a)(x + b)(x + c) = x

+ (a + b + c)x

+ (ab + bc + ca)x + abc

5. (ax + b)(cx + d)(ex + f ) = acex

+ (acf + ceb + ead)x

+ (adf + cfb + ebd)x + bdf

6. (a + b + c)

= a

+ b

+ c

+ 2ab + 2bc + 2ca

7. (a + b)

= a

+ 3a

b + 3ab

+ b

(a − b)

= a

− 3a

b + 3ab

− b

8. (a + b)(a

− ab + b

) = a

+ b

(a − b)(a

+ ab + b

) = a

− b

9. (a

+ ab + b

)(a

− ab + b

) = a

+ a

+ b

10. (a + b + c)(a

+ b

+ c

− ab − bc − ca) = a

+ b

+ c

− 3abc

11. (a + b + c)(ab + bc + ca) = (a + b)(b + c)(c + a) + abc

12. (a − b)(b − c)(c − a) = ab

+ bc

+ ca

− (a

b + b

c + c

13. (a + b)

k=0

C(n, k)a

n−k

k=0

C(n, k)a

n−k

14. (a +

)(b +

) = ab + 2 +

15.

b − a

(

−

) (where a 6= b)

16.

abc

c − a

(

−

) (where a 6= c)

3.1.3 곱셈 공식의 변형

1. a

+ b

= (a + b)

− 3ab(a + b) = (a + b)(a

− ab + b

)

− b

= (a − b)

+ 3ab(a − b) = (a − b)(a

+ ab + b

)

2. (a + b)

+ (b + c)

+ (c + a)

= 2(a

+ b

+ c

) + 2(ab + bc + ca)

+ b

+ c

+ (ab + bc + ca) =

((a + b)

+ (b + c)

+ (c + a)

)

3. (a − b)

+ (b − c)

+ (c − a)

= 2(a

+ b

+ c

) − 2(ab + bc + ca)

+ b

+ c

− (ab + bc + ca) =

((a − b)

+ (b − c)

+ (c − a)

)

4. a

− b

= (a − b)(

k=1

n−k

k−1

) = (a − b)(

k=1

k−1

n−k

)

+ b

= (a + b)(

k=1

n−k

k−1

(−1)

k−1

) = (a − b)(

k=1

k−1

n−k

(−1)

n−k

)

3.2 나머지정리와 인수분해 15

− 1 = (x − 1)(

k=1

n−k

)

+ 1 = (x + 1)(

k=1

n−k

(−1)

k−1

)

3.1.4 다항식의 나눗셈

Deﬁnition 3.1.7 (다항식의 나눗셈). 두 다항식 A, B (B 6= 0)에 대하여 A÷B는

A = BQ + R (where (R의차수) ¡ (B의차수))

을 만족시키는 두 다항식 Q와 R를 구하는 것이다. 이 때 다항식 Q를 몫, 다항식 R를 나머지라 한다. 특히

R = 0 이면 A는 B로 나누어 떨어진다고 하고 A=BQ를 만족시킨다.

3.2 나머지정리와 인수분해

Deﬁnition 3.2.1 (항등식).

• 등호(=)를 써서 두 수 또는 두 식이 같음을 나타낸 식을 등식이라 한다.

• 문자의 값에 따라 참이 되기도 하고, 거짓이 되기도 하는 등식을 그문 자에 대한 방정식이라 한다.

• 문자의 값에 관계없이 항상 성립하는 등식을 그 문자에 대한 항등식이라 한다.

Deﬁnition 3.2.2 (미정(未定)계수).

값이 정해지지 않은 계수를 미정계수라 한다

Deﬁnition 3.2.3 (미정계수법).

• 수치대입법: 항등식의 문자에 적당한 값을 대입하여 미정계수를 구하는 방법

• 계수비교법: 항등식의 양변에 있는 동류항의 계수를 비교하여 미정계수를 구하는 방법

3.2.1 나머지정리

Example 3.2.1 (나머지 구하기 Tip).

• 50

100

을 2499로 나눈 나머지는 P (x) = (x

− 1)Q(x) + ax + b 을 이용해 본다.

• 8

을 7로 나눈 나머지, 2

100

을 31로 나눈 나머지 등은 P (x) = (x + 1)

= xQ(x) + 1 을 이용해

본다.

• 2

1111

을 17로 나눈 나머지는 9

항등식

나머지정리와 인수정리

Theorem 3.2.1 (나머지정리). 다항식을 일차식으로 나누었을 때의 나머지를 구할 때, 직접 나눗셈을

하지 않고 다음과 같이 항등식의 성질을 이용하여 구할 수 있다. 이때 이 성질을 나머지정리라고 한다.

• 다항식 f(x)를 일차식 x − a로 나누었을 때의 나머지 R는

R = f(a)

3.2 나머지정리와 인수분해 16

• 다항식 f(x)를 일차식 ax + b로 나누었을 때의 나머지 R는

R = f(−

)

Theorem 3.2.2 (Hakchin).

f(x) = A(x)B(x) + C(x) ⇒ Mod(f(x), A(x)) = Mod(C(x), A(x))

Theorem 3.2.3 (인수정리). 다항식 f(x)를 일차식 x −a로 나누었을 때의 나머지는 나머지정리에 의해

fa이다. 이때 나머지정리에 의해 다음과 같은 인수정리가 성립한다.

1. f(x)가 x −α로 나누어 떨어지면 f(α) = 0이다.

2. f(α) = 0이면 f(x)는 x − α로 나누어 떨어진다.

3.2.2 인수분해

인수분해

복잡한 식의 인수분해

4 방정식과 부등식

4.1 복소수와 이차방정식

4.1.1 복소수의 뜻과 사칙연산

Deﬁnition 4.1.1 (허수단위 i). 제곱하여 1이 되는 수를 허수단위라 하고, 기호로 i와 같이 나타낸다.

= −1, i =

√

−1

Deﬁnition 4.1.2 (복소수). 두 실수 a, b와 허수단위 i에 대하여 a + bi의 꼴로 나타내어지는 수를 복소

수라 하고, a를 이 복소수의 실수부분, b를 이 복소수의 허수부분이라 한다. 또한 복소수 a + bi는 다음과

같이 분류할 수 있다.

• 실수 복소수 a + bi에서 b = 0인 복소수

• 허수 복소수 a + bi에서 b 6= 0인 복소수

• 순허수 복소수 a + bi에서 a = 0, b 6= 0인 복소수

Note (복소수가 서로 같을 조건).

어쩌구 저쩌구

4.1.2 켤레복소수의 성질

Deﬁnition 4.1.3 (켤레복소수(Complex conjugate)).

복소수 a + bi (a, b ∈ R)에서 허수부분의 부호를 바꾼 복소수 a −bi를 복소수 a + bi의 켤레복소수라 하고,

이것을 기호로 a + bi와 같이 나타낸다.

a + bi = a −bi

Theorem 4.1.1 (복소수의 사칙연산).

1. 덧셈과 뺄셈

(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

(a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i

2. 곱셈

(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i

3. 나눗셈

(a + bi)

(c + di)

(a + bi)(c − di)

(c + di)(c − di)

(ac + bd) + (−ad + bc)i

+ d

)

Theorem 4.1.2 (켤레복소수의 성질). 두 복소수 z

, z

와 그 켤레복소수 z

, z

에 대하여

4.1 복소수와 이차방정식 18

1. (z

) = z

2. z

+ z

= z

+ z

, z

− z

= z

− z

3. z

· z

= z

· z

, (

) =

(where z

6= 0)

4. z + z ∈ R, z · z ∈ R

5. z

= (z)

6. z − z = 0 ⇐⇒ z ∈ R

7. z + z = 0 ⇐⇒ (z ∈ PIN ∨ z = 0)

8. z

≥ 0 ⇐⇒ z ∈ R

9. z

< 0 ⇐⇒ z ∈ PIN

10. z

∈ R ⇐⇒ z ∈ R ∨ z ∈ PIN

11. (z = ±a + ai ∨ z = a ± ai) ⇐⇒ (z

∈ PIN ∨ z = 0)????

4.1.3 i의 거듭제곱, 음수의 제곱근

Theorem 4.1.3. ∀k ∈ [0, ∞) ∩Z

• i

= 1

• i

4k+1

= i

• i

4k+2

= −1

• i

4k+3

= −i

Theorem 4.1.4 (음수의 제곱근의 성질).

√

= −

⇐⇒ (a > 0 ∧ b < 0) ∨ (a = 0 ∧ b 6= 0) (4.1)

√

b = −

√

ab ⇐⇒ (a < 0 ∧ b < 0) ∨ (a = 0) ∨(b = 0) (4.2)

Proof. 반쯤 증명한다면,

(a > 0 ∧ b < 0) ⇒

√

−bi

√

−bi

= −

√

−b

= −

−b

i = −

−a

−b

= −

(a < 0 ∧ b < 0) ⇒

√

b =

√

−ai

√

−bi = −

(−a)(−b)i

= −

√



Corollary 4.1.4.1 (음의 실수의 제곱근의 성질).

1. a > 0 ⇒

√

−a =

√

2. a > 0 ⇒ Sqrt(−a) = ±

√

ai J (

√

ai)

= a · i

= −a, (−

√

ai)

= a · i

= −a

4.2 이차방정식과 이차함수 19

3. a < 0 ⇒

√

−a = −

√

4.1.4 이차방정식의 판별식

4.1.5 이차방정식의 근과 계수의 관계

Theorem 4.1.5 (이차방정식의 근과 계수의 관계).

이차방정식 ax

+ bx + c = 0 (a = 0)의 두 근을 α, β라 하면

α + β = −

, αβ =

Theorem 4.1.6 (이차방정식의 켤레근).

이차방정식 ax

+ bx + c = 0 (a = 0)에서

1. a, b, c가 유리수일 때, 한 근이 p + q

√

m 이면 다른 한 근은 p − q

√

m이다. (where p, q ∈ Q, q 6=

√

m ∈ I)

2. a, b, c가 실수일 때, 한 근이 p + qi 이면 다른 한 근은 p −qi이다. (where p, q ∈ R, q 6= 0, i =

√

−1)

Remark (계수가 유리수가 아닐 때). 이차방정식 x

√

3x − 1 +

√

3 = 0 ⇒ (x + 1)(x −1 +

√

3) = 0

4.2 이차방정식과 이차함수

4.2.1 이차함수와 이차방정식의 관계

4.2.2 이차함수의 최대, 최소

4.3 여러 가지 방정식

4.3.1 삼차방정식과 사차방정식

삼차방정식과 사차방정식

Note (복이차방정식의 풀이).

• 중선정리 증명, Apollonios’ Theorem, 파푸스의 정리

삼차방정식의 근과 계수의 관계

삼차방정식의 허근의 성질

4.3.2 연립이차방정식

미지수가 2개인 연립이차방정식

부정방정식

Note (복이차방정식의 풀이).

+ bx

+ c = 0 의 풀이

1. x

= t로 치환하여 푼다.

4.4 여러 가지 부등식 20

2. 인수분해가 되지 않을 때에는 A

− B

의 꼴로 변형하여 푼다.

Figure 4.1: 복이차방정식을 이차방정식으로 이해하기

4.4 여러 가지 부등식

4.4.1 연립일차부등식

연립일차부등식

절댓값을 포함한 일차부등식

4.4.2 이차부등식과 연립이차부등식

이차부등식

이차부등식의 해의 조건

연립이차부등식

부등식과 이차방정식의 근의 조건

이차방정식의 근의 분리

’근의 분리’란 방정식의 실근과 어떤 실수와의 대소 관계를 따지는 것이다.

5 도형의 방정식

5.1 평면좌표

5.1.1 두 점 사이의 거리

두점사이의거리

5.1.2 선분의 내분점과 외분점

선분의 내분점과 외분점

Note (Mid Point).

Mid(x

, x

) = Mid(0, x

+ x

)

Theorem 5.1.1 (Stewart’s Theorem).

시간날 때 Tikz으로 그려보고 증명도 달아보자.

Figure 5.1: Stewart’s Theorem

+ nc

= (m + n)(mn + d

) = a(mn + d

)

Proof. cosine 제2법칙 이용하면 된다. 

삼각형의 무게중심

5.2 직선의 방정식

Theorem 5.2.1 (Fermat point). 삼각형의 세 꼭지점에 이르는 거리의 합이 최단거리인 점 P

Proof.

• 페르마의 점 증명 링크

5.2 직선의 방정식 22

• 사각형의 페르마 포인트

• 거리의합이 최소인 페르마의 점 찾기

• 최단거리와 페르마의 점 탐구

• 페르마 포인트 관련 문제



5.2.1 직선의 방정식

Deﬁnition 5.2.1 (직선의 기울기와 절편). sfjsldajﬂsdaj

Theorem 5.2.2 (여러 가지 직선의 방정식). sfjsldajﬂsdaj

Theorem 5.2.3 (점과 직선 사이의 거리).

1. 점 (x

, y

)과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리 d는

d =

|ax

+ by

+ c|

√

+ b

2. 원점과 직선 ax+by+c=0 사이의 거리 d는

d =

|c|

√

+ b

5.2.2 두 직선의 위치 관계

두 직선의 평행과 수직

Deﬁnition 5.2.2 (수심, an orthocenter). 삼각형의 세 꼭짓점에서 대변에 내린 수선의 발을 꼭짓점으로

하는 삼각형을 수심삼각형이라고 합니다. 이 수심삼각형에서 성립하는 새로운 사실에 대해 배워봅니다.

Theorem 5.2.4 (수심삼각형).

5.2 직선의 방정식 23

Figure 5.2: 수심삼각형

Note (오심 관련 링크).

• 삼각형의 오심

점과 직선 사이의 거리

Theorem 5.2.5 (삼각형의 넓이).

5.3 원의 방정식 24

Figure 5.3: triangle

5.3 원의 방정식

Deﬁnition 5.3.1 (원). 평면 위의 한 정점으로부터 일정한 거리에 있는 점이 이루는 도형을 원이라 한다.

이때 정점을 원의 중심, 일정한 거리를 원의 반지름의 길이라 한다.

5.3.1 원의 방정식

Theorem 5.3.1 (원의 방정식의 표준형). 중심이 점 C(a,b)이고 반지름의 길이가 r인 원의 방정식은

(x − a)

+ (y − b)

= r

Theorem 5.3.2 (원의 방정식 일반형).

+ By

+ Cx + Dy + E = 0 where (A = B 6= 0) ∧ (C

+ D

− 4AE > 0)

중심은 점 (

−C

−D

)이고 반지름의 길이는

√

+ D

− 4AE

Theorem 5.3.3 (두 원의 교점을 지나는 원의 방정식).

+ y

+ Ax + By + C) + k(x

+ y

+ A

x + B

y + C

) = 0 where k ∈ R − {−1}

Theorem 5.3.4 (두 원의 교점을 지나는 직선의 방정식).

+ y

+ Ax + By + C) − (x

+ y

+ A

x + B

y + C

) = 0

Theorem 5.3.5 (원의 접선의 방정식-기울기가 주어진 경우1).

원 x

+ y

= r

에 접하고, 기울기가 m인 접선의 방정식은

y = mx ±r

+ 1

5.4 도형의 이동 25

Theorem 5.3.6 (원의 접선의 방정식-접점이 주어진 경우2).

원 x

+ y

= r

위의 점 P (x

, y

)에서의 접선의 방정식은

+ yy

= r

Theorem 5.3.7 (원의 접선의 방정식-접점이 주어진 경우3).

원 (x −a)

+ (y − b)

= r

위의 점 P (x

, y

)에서의 접선의 방정식은

(x − a)(x

− a) + (y − b)(y

− b) = r

Theorem 5.3.8 (circle of Apollonios, 두 점으로부터 거리의 비가 일정한 원).

두 점A, B에 대하여 AP : P B = m : n(m, n > 0)인 점 P가 나타내는 도형은 선분 AB를 m:n으로 내분

하는 점과 외분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원이다. 이와 같은 원을 아폴로니오스(Apollonios)

의 원이라 한다.

Figure 5.4: circle of Apollonios

5.3.2 원과 직선의 위치 관계

5.4 도형의 이동

5.4.1 평행이동

5.4.2 대칭이동

Note (점과 도형의 이동).

5.4 도형의 이동 26

Figure 5.5: 점과 도형의 이동

Note (직선 y = mx + n에 대하여 대칭이동).

• Condition 1 : A(x

, y

), B(x

, y

), l : y = mx + n

• Condition 2 : B = ST (A, l)

• Conclusion (

− y

− x

· m = −1) ∧ (

+ y

= m ·

+ x

+ n)

Note (기울기가 ±1인 직선에 대한 대칭이동).

1. y = x + n에 대하여 대칭이동

5.4 도형의 이동 27

점 (x, y) −→ (y −n, x + n)

도형 f(x, y) = 0 −→ f (y − n, x + n) = 0

2. y = −x + n에 대하여 대칭이동

점 (x, y) −→ (−y + n, −x + n)

도형 f(x, y) = 0 −→ f (−y + n, −x + n) = 0

6 집합과 명제

6.1 집합

6.1.1 집합의 뜻

Deﬁnition 6.1.1 (집합). 어쩌구 저쩌구

Deﬁnition 6.1.2 (원소). ainA

Deﬁnition 6.1.3 (집합의 표현 방법).

1. 원소나열법

2. 조건제시법

3. 벤다이어그램 : 집하에 속하는 원소를 원이나 직사각형 같은 도형 안에 나열하여 그림으로 나타내는

방법

Deﬁnition 6.1.4 (유한집합). 원소가 유한개인 집합

Deﬁnition 6.1.5 (무한집합). 원소가 무한개인 집합

Deﬁnition 6.1.6 (공집합). 원소가 하나도 없는 집합을 공집합이라 하고, 기호로 ∅과 같이 나타낸다.

Deﬁnition 6.1.7 (유한집합의 원소의 개수). 집합 A가 유한집합일 때, 집합 A의 원소의 개수를 기호로

n(A)와 같이 나타낸다.

6.1.2 집합 사이의 포함 관계

Deﬁnition 6.1.8 (부분집합). A ⊂ B ≡ x ∈ A ⇒ x ∈ B

Deﬁnition 6.1.9 (진부분집합). A는 B의 진부분집합 ≡ A ⊂ B ∧ A 6= B

Theorem 6.1.1 (부분집합의 개수).

1. n(A) = k인 집합 A의 부분집합의 개수는 2

2. 집합 A = {a

, a

, ..., a

}에 대하여 특정한 원소 k개를 반드시 갖는 부분집합의 개수는 2

n−k

(단, n ≥ k)

3. 집합 A = {a

, a

, ..., a

}에 대하여 특정한 원소 k개를 원소로 갖지 않는 부분집합의 개수는

n−k

(단, n ≥ k)

6.1.3 집합의 연산

Deﬁnition 6.1.10 (합집합). A ∪ B = x|x ∈ A ∨ x ∈ B

Deﬁnition 6.1.11 (교집합). A ∩ B = x|x ∈ A ∧ x ∈ B

6.2 명제 29

Deﬁnition 6.1.12 (서로소). A ∩ B = ∅

Deﬁnition 6.1.13 (전체집합). 주어진 집합에 대하여 그 부분집합을 생각할 때, 처음에 주어진 집합을

전체집합이라 하고, 이것을 기호로 U와 같이 나타낸다.

Deﬁnition 6.1.14 (여집합). 어쩌구

Deﬁnition 6.1.15 (차집합). 어쩌구

Theorem 6.1.2 (집합의 연산법칙). 1. 교환법칙

2. 결합법칙

3. 분배법칙

Theorem 6.1.3 (드모르간 법칙).

1. (A ∪ B)

= A

∩ B

2. (A ∩ B)

= A

∪ B

Deﬁnition 6.1.16 (대칭차집합).

A 4 B = (A ∪ B) ∩ (A ∩ B)

= (A − B) ∪ (B −A)

Deﬁnition 6.1.17 (대칭합집합).

A 5 B = (A ∪ B)

∪ (A ∩ B)

Theorem 6.1.4 (대칭차집합의 성질).

1. 교환법치과 결합법칙 성립한다.

2. A 4 B = (A 5 B)

= A

4 B

3. A 5 B = (A 4 B)

= A

5 B

6.2 명제

6.2.1 명제와 조건

6.2.2 명제의 역과 대우

6.2.3 필요조건과 충분조건

6.2.4 절대부등식의 증명

Deﬁnition 6.2.1 (절대부등식). 모든 실수에 대하여 성립하는 부등식

Deﬁnition 6.2.2 (산술평균(A), an Arithmetical mean). 여러 수의 합을 수의 개수로 나눈 합

Deﬁnition 6.2.3 (기하평균(G), a Geometric mean). n개의 양수의 곱의 n 제곱근

Deﬁnition 6.2.4 (조화평균(H), a Harmonic mean). 주어진 수의 역수의 산술평균을 구한 것의 역수

Theorem 6.2.1. 주어진 양수에 대하여 다음이 성립한다.

A ≥ G ≥ H

6.2 명제 30

Example 6.2.1. i.e. ∀a, b ∈ R

(a + b)

≥

√

ab ≥

2ab

a + b

Theorem 6.2.2.

(ax + by)

≤ (a

+ b

)(x

+ y

) (6.1)

(ax + by + cz)

≤ (a

+ b

+ c

)(x

+ y

+ z

) (6.2)

+ a

+ ... + a

)

≤ (a

+ a

+ ... + a

)(b

+ b

+ ... + b

) (6.3)

등호가 성립할 때는

= ... =

Question 6.2.1. ∀a, b, c ∈ R, 부등식 ax

+ bx + c ≥ 0 이 절대부등식일 조건을 구하여라.

Solution.

+ bx + c

= a(x

x +

)

= a{x

x + (

)

− (

)

}

= a{(x +

)

−

}

= a(x +

)

+ a(

4ac − b

)

= a(x +

)

4ac − b

∴ a > 0 ∧ 4ac − b

≥ 0

Question 6.2.2. ∀a, b ∈ R, 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. 그리고 등호가 언제 성립하는지 말하

여라.

+ b

≥ ab

Hint.

• a − b > 0 ⇐⇒ a > b

Solution.

+ b

− ab

= a

− ab + (

)

− (

)

+ b

= (a −

)

≥ 0

∴ a

+ b

− ab ≥ 0 ⇐⇒ a

+ b

≥ ab

Question 6.2.3. 다음 부등식이 성립함을 증명하여라. 또 등호가 언제 성립하는지 말하여라.

∀a, b ∈ R, |a| + |b| ≥ |a + b|

6.2 명제 31

Solution.

= |a|

인 것을 상기하자.

(|a| + |b|)

− |a + b|

= a

+ 2|a||b| + b

− (a

+ 2ab + b

)

= a

+ 2|ab| + b

− a

− 2ab − b

= 2|ab| − 2ab

= 2(|ab| − ab) ≥ 0

∴ |a| + |b| ≥ |a + b|

한편, 등호가 성립하는 경우는, |ab| = ab인 경우이다.

∴ (a = 0 ∨ b = 0) ∨ (a > 0 ∧ b > 0) ∨(a < 0 ∧ b < 0)

Question 6.2.4. a > 0, b > 0, ab = 9 일 때, a + b 의 최솟값을 구하여라.

Solution.

a + b ≥ 2

√

⇐⇒ a + b ≥ 2 ·

√

⇐⇒ a + b ≥ 6

∴ 최솟값은 6

Question 6.2.5. x > 0일 때, x +

의 최솟값을 구하여라.

Hint.

• A ≥ G, i.e. ∀a, b ∈ R

(a + b)

≥

√

Solution.

A ≥ G이므로,

x +

≥ 2

x ·

= 2

∴ 최솟값은 2

Question 6.2.6. x > 3일 때, x + 2 +

x − 3

의 최솟값을 구하여라.

Solution.

x + 2 +

x − 3

⇐⇒ x − 3 +

x − 3

+ 5

⇐⇒ x − 3 +

x − 3

+ 5 ≥ 2

(x − 3) ·

(x − 3)

+ 5 = 4 + 5

∴ 최솟값은 9

6.2 명제 32

Question 6.2.7. x < 0일 때, x +

의 최댓값을 구하여라.

Solution.

−x > 0이므로,

−x +

−x

≥ 2

(−x) ·

(−x)

= 4

x +

≤ −4

∴ 최댓값은 − 4

Question 6.2.8. x > 0일 때,

+ 3x + 4

의 최댓값을 구하여라.

Solution.

+ 3x + 4

에서 분자와 분모를 모두 x로 나누면,

x + 3 +

≥ 2

x ·

+ 3 = 7

⇐⇒

x + 3 +

≤

∴ 최댓값은

Question 6.2.9. a > 0, b > 0일 때, (a + b)(

)의 최솟값을 구하여라.

Hint.

• A ≥ G, i.e. ∀a, b ∈ R

(a + b)

≥

√

Solution.

(a + b)(

)

= a ·

+ a ·

+ b ·

= 1 + 9 ·

+ 9

≥ 2

9 ·

+ 10

= 2

√

9 + 10

∴ 최솟값은 16

Question 6.2.10. x > 0, y > 0 이고, 2x + 3y = 1 일 때,

의 최솟값을 구하여라.

6.2 명제 33

Solution.

= (2x + 3y)(

)

= 2x ·

+ 2x ·

+ 3y ·

= 2 + 2 ·

+ 3 ·

+ 3

≥ 2

2 ·

· 3 ·

+ 5

= 2

√

6 + 5

∴ 최솟값은 2

√

6 + 5

Question 6.2.11. x > 0, y > 0, z > 0 이고, x + 2y + 3z = 1 일 때,

의 최솟값을 구하여라.

Solution.

= (x + 2y + 3z)(

)

= 1 + 2 ·

+ 3 ·

+ 2 ·

+ 4 + 6 ·

+ 3 ·

+ 6 ·

+ 9

= 14 + 2 ·

+ 3 ·

+ 2 ·

+ 6 ·

+ 3 ·

+ 6 ·

≥ 14 + 3

2 ·

· 6 ·

· 3 ·

+ 3

3 ·

· 2 ·

· 6 ·

= 14 + 3

√

36 + 3

√

∴ 최솟값은 14 + 6

√

Question 6.2.12. x > 0, y > 0 일 때,

+ 36x의 최솟값을 구하여라.

Solution.

+ 36x ≥ 3

· 36x

= 3

√

6 · 36

= 3 · 6 = 18

∴ 최솟값은 18

Question 6.2.13. x > 0일 때, x

의 최솟값을 구하여라.

Solution.

= x

≥ 3

= 3

∴ 최솟값은 3

Question 6.2.14. x > 0, y > 0이고 2x + 3y = 5일 때,

√

2x +

√

3y의 최댓값을 구하여라.

6.2 명제 34

Solution.

2x + 3y ≥ 2

2x · 3y = 2

6xy

⇐⇒ 5 ≥ 2

6xy

⇐⇒ 2

6xy ≤ 5 (6.4)

(

√

2x +

3y)

= 2x + 2

6xy + 3y

= 2x + 3y + 2

6xy

= 5 + 2

6xy (6.5)

(6.4)과 (6.5)에 의하여

(

√

2x +

3y)

= 5 + 2

6xy

≤ 5 + 5 = 10

⇐⇒

√

2x +

3y ≤

√

∴ 최댓값은

√

Question 6.2.15. x > 0일 때, x +

+ 1

의 최솟값을 구하여라.

Solution.

x +

+ 1

≥ 2

+ 1

= 2

√

4 = 4

∴ 최솟값은 4이다.

Question 6.2.16. 반지름이 2인 원에 내접하는 직사각형의 넓이의 최댓값을 구하여라.

Solution. 아래 그림과 같이 원에 내접하는 직사각형이 있다고 하고, 밑변을 a, 높이를 b, 반지름을 r이라

하자.

따라서, 직사각형의 넓이는 a · b가 된다. 한편,

+ b

≥ 2

√

· b

⇐⇒ (2r)

≥ 2ab

⇐⇒ 2r

≥ ab

⇐⇒ 2 · 4 ≥ ab

∴ 최댓값은 8이다.

6.2 명제 35

Question 6.2.17. 반지름이 2인 구에 내접하는 직육면체의 최대 부피를 구하여라.

Solution. 조건을 만족하는 직육면체의 가로, 세로, 높이를 각각 a, b, c라 하자. 또 주어진 구의 반지름을

r(= 2)라 하자. 이 때 직육면체의 부피는 abc 이다. 그리고 직육면체를 윗면에서부터 대각선에 따라 수직

으로 내려 2등분하면 잘려진 면은 직사각형이 된다. 이 때 직사각형의 대각선의 길이는 2r이 된다.

즉, a

+ b

+ c

= (2r)

= 2

이다. 한편,

= a

+ b

+ c

≥ 3

√

양변을 3제곱하면, 2

≥ 3

(abc)

⇐⇒

· 2

≥ (abc)

⇐⇒ abc ≤

√

∴ 최댓값은

√

Question 6.2.18. x

+ y

= 4일 때, 3x + 4y의 최댓값과 최솟값을 구하여라. 또한 최대, 최소가 될 때,

x, y값을 각각 구하여라.

Solution. By Cauchy-Shwarz inequality,

+ 4

)(x

+ y

) ≥ (3x + 4y)

(6.6)

6.2 명제 36

⇐⇒ (9 + 16)(4) ≥ (3x + 4y)

⇐⇒ 100 = 25 · 4 ≥ (3x + 4y)

⇐⇒ −10 ≤ 3x + 4y ≤ 10 (6.7)

∴ 최댓값 : 10, 최솟값 : -10

등호는

일 때 성립하며 계산하면,

최댓값(10)일 때, (

)

최솟값(-10)일 때, (−

, −

)

Question 6.2.19. x

+ y

+ z

= 1일 때, 2x − 3y + 6z의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

Solution. By Cauchy-Shwarz inequality,

+ (−3)

+ 6

)(x

+ y

+ z

) ≥ (2x −3y + 6z)

⇐⇒ (4 + 9 + 36) ·1 ≥ (2x − 3y + 6z)

⇐⇒ 49 ≥ (2x − 3y + 6z)

⇐⇒ −7 ≤ 2x − 3y + 6z ≤ 7

∴ 최솟값 : -7, 최댓값 : 7

Question 6.2.20. 3x

+ 2y

= 2일 때, 2x − 5y의 최댓값과 최솟값을 구하여라.

Solution. By Cauchy-Shwarz inequality,

((

√

)

+ (−

√

)

)((

√

3x)

+ (

√

2y)

) ≥ (2x −5y)

(

) · 2 ≥ (2x −5y)

8 + 75

· 2 ≥ (2x − 5y)

≥ (2x −5y)

−

≤ 2x −5y ≤

∴ 최솟값 : −

, 최댓값 :

Question 6.2.21. 한 변의 길이가 6인 정삼각형의 내부에 점 P가 있다. 점 P에서 각 변에 그은 수선의

길이를 a, b, c라 할 때, a

+ b

+ c

의 최솟값을 구하여라. 또한 이 때, a, b, c의 값을 각각 구하여라.

6.2 명제 37

Solution. 삼각형의 넓이는

· 6 · 3

√

3 =

· 6 · a +

· 6 · b +

· 6 · c =

· 6 · (a + b + c) 이다. 따라서

(a + b + c) = 3

√

3이다.

+ b

+ c

)(1

+ 1

) ≥ (a + b + c)

= (3

√

⇐⇒ (a

+ b

+ c

) ≥ 27 (1)

(1)에서 등호가 성립할 때가 최솟값이므로,

이어야 하고, 즉, a : b : c = 1 : 1 : 1

∴ a = b = c =

√

7 함수

7.1 함수

7.1.1 함수의 뜻과 그래프

Deﬁnition 7.1.1 (domain and image). Let R be a relation from A to B. The domain of the ralation

R, denoted by Dom(R), is the set of all those a ∈ A; and the image of R, denoted by Img(R), is the

set of all those b ∈ B such that aRb for some a ∈ A. In symbols,

Dom(R) = {a ∈ A | ∃b ∈ B, (a, b) ∈ R}

and

Img(R) = {b ∈ B | ∃a ∈ A, (a, b) ∈ R}

Deﬁnition 7.1.2 (function). Let X and Y be sets. A function from X to Y is a triple (f, X, Y ), where

f is a relation from X to Y satisfying

(a) Dom(f) = X.

(b) If (x, y) ∈ f and (x, z) ∈ f, then y = z.

Deﬁnition 7.1.3 (identical function). 두 함수 f와 g가 서로 같은 함수 (Symbolically) f = g ⇐⇒

• Dom(f) = Dom(g)

• Ran(f) = Ran(g)

• ∀x ∈ Dom(f), f(x) = g(x)

Example 7.1.1 (서로같은 함수).

Dom = {1, 2}, f(x) = x, g(x) = x

Deﬁnition 7.1.4 (단사함수). Let f: X → Y be a function. 다음 조건을 만족하면 f는 단사함수

6= x

⇒ y

6= y

Deﬁnition 7.1.5 (전사함수). 아래와 같은 전사함수

Ran(f) = Img(f)

Deﬁnition 7.1.6 (전단사함수=일대일 대응). 단사함수이고 전사함수이면 전단사함수

Deﬁnition 7.1.7 (항등함수). 정의역과 공역이 같은 함수 f : X → X에서 f (x) = x를 만족하는 함수

injective, one-to-one, 일대일함수

surjective, onto

bijective, 일대일 대응

7.1 함수 39

Deﬁnition 7.1.8 (상수함수). 함수 f 의 치역의 원소가 하나뿐인 함수 즉 f(x) = c인 함수

Deﬁnition 7.1.9 (단조증가함수). x

< x

⇒ f (x

) ≤ f (x

)

Deﬁnition 7.1.10 (강한증가함수). x

< x

⇒ f (x

) < f (x

)

Deﬁnition 7.1.11 (우함수).

∀x ∈ X, f(−x) = f(x)

Deﬁnition 7.1.12 (기함수).

∀x ∈ X, −f(−x) = f(x)

Deﬁnition 7.1.13 (x = a에 대칭인 함수).

∀x ∈ X, f(2a − x) = f(x)

∀x ∈ X, f(a − x) = f(a + x)

Deﬁnition 7.1.14 (y = b에 대칭인 함수).

∀x ∈ X, 2b − f(x) = f(x)

∀x ∈ X, −(f(x) − b) = f(x) − b

Deﬁnition 7.1.15 (점 (a, b)에 대칭인 함수).

∀x ∈ X, 2b − f(2a − x) = f (x)

∀x ∈ X, 2b = f(x) + f (2a −x)

∀x ∈ X, 2b = f(a −x) + f (a + x)

Deﬁnition 7.1.16 (주기함수). 독립 변수의 값이 어떤 고정된 상수만큼 변하여도 그 함숫값이 일정한

구간안에서 반복되는 함수 즉, 모든 독립변수 x에 대하여 f(x) = f(x + p)를 만족하는 최초의 양수 p를

주기로 하는 주기함수라 한다.

Note (함수의 개수).

함수 Π(n, m)

단사

전사 S(m, n) ·

전단사

증가

단조증가

Theorem 7.1.1 (함수의 개수). 함수의 개수는 다음과 같다.

• 정의역은 X, 공역은 Y, n(X) = m, n(Y) = n 일 때 f : X → Y 인 함수의 개수는

= n

• 정의역은 X, 공역은 Y , n(X) = m, n(Y ) = n, m ≤ n일 때 f : X → Y 인 단사함수의 개수는

(n − m)!

7.1 함수 40

• 정의역은 X, 공역은 Y , n(X) = m, n(Y ) = n, m ≥ n일 때 f : X → Y 인 전사함수의 개수는

S(m, n) · P er(n, n)

• 정의역은 X, 공역은 Y , n(X) = m, n(Y ) = n, m ≥ n일 때 f : X → Y 인 전사함수의 개수는

전사함수의 개수 = 전체 함수의 개수

−(치역의 원소의 개수가 1일 때 전사함수) × C(n, 1)

−(치역의 원소의 개수가 2일 때 전사함수) × C(n, 2)

−(치역의 원소의 개수가 3일 때 전사함수) × C(n, 3)

−(치역의 원소의 개수가 4일 때 전사함수) × C(n, 4)

−(치역의 원소의 개수가 n-1일 때 전사함수) × C(n, n − 1)

= Π(n, m)

−Π(1, m) × C(n, 1)

−(Π(2, m) − C(2, 1)) × C(n, 2)

−(Π(3, m) − (C(3, 1) + (Π(2, r) − C(2, 1)) × C(n, 2)) × C(n, 3)

−···

−(치역이 n-1일 때 전사함수) × C(n, n − 1)

• 정의역은 X, 공역은 Y , n(X) = m, n(Y ) = n, m = n일 때 f : X → Y 인 전단사함수의 개수는

= n!

• 정의역은 X, 공역은 Y , n(X) = m, n(Y ) = n일 때 f : X → Y 인 함수중 강한증가함수의 개수는

P (n, m)

• 정의역은 X, 공역은 Y , n(X) = m, n(Y ) = n일 때 f : X → Y 인 함수중 단조증가함수의 개수는

= C((n −1 + m), m)

Example 7.1.2 (전사함수 개수 1). 정의역은 X, 공역은 Y , n(X) = 5, n(Y ) = 3일 때 f : X → Y 인

전사함수의 개수는

Solution.

S(5, 3) · P er(3, 3)

25 · 3!

150

7.1 함수 41

Solution. another solution ; n = 3, m = 5 인 경우이므로,

Π(3, 5)

−Π(1, 5) × C(3, 1)

−(Π(2, 5) − C(2, 1)) × C(3, 2)

= 3

−1

× 5

−(2

− 2) × 3

= 243

−5

−90

= 150

Example 7.1.3 (전사함수 개수 2). 정의역은 X, 공역은 Y , n(X) = 4, n(Y ) = 3일 때 f : X → Y 인

전사함수의 개수는

Solution.

S(4, 3) · P er(3, 3)

= C(4, 2) · C(2, 2) · C(1, 1) ·

· 3!

= 6 · 2 ·

· 3!

= 36

Solution. n = 3, m = 4 인 경우이므로,

Π(3, 4)

−Π(1, 4) × C(3, 1)

−(Π(2, 4) − C(2, 1)) × C(3, 2)

= 3

−1

× 3

−(2

− 2) × 3

= 81

−3

−42

= 36

Example 7.1.4 (강한증가함수 개수). 정의역은 X, 공역은 Y , n(X) = 3, n(Y ) = 4일 때 f : X → Y 인

강한증가함수의 개수는

7.1 함수 42

Solution. n = 4, m = 3 인 경우이므로,

C(4, 3)

= 4

Example 7.1.5 (단조증가함수 개수). 정의역은 X, 공역은 Y , n(X) = 3, n(Y ) = 4일 때 f : X → Y 인

단조증가함수의 개수는

Solution. n = 4, m = 3 인 경우이므로,

H(4, 3)

= C(4 + 3 −1, 3)

= C(6, 3)

= 20

Question 7.1.1. X = {1, 2, 3}, Y = {3, 4, 5, 6, 7}일 때, f : X → Y 로의 함수 f의 갯수는?

Solution.

1. 간단히 풀면,

기호를 이용하여 단순히 공식을 이용하여 푼다면, 구하고자 하는 갯수는

= 5

= 125

2. 조금 자세히 푼다면,

정의역 X = {1, 2, 3}의 각 원소에 대하여, 1에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있고, 다시 2에

대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있으며, 또 다시 3에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있다.

이것으로 부터 모든 발생하는 경우의 수가 함수의 갯수이므로 5

= 125 가 구하고자 하는 답이다.

Question 7.1.2. X = {1, 2, 3}, Y = {3, 4, 5, 6, 7}일 때, f : X → Y 로의 함수 중 일대일 함수 f의

갯수는?

Solution.

1. 간단히 풀면,

기호를 이용하여 단순히 공식을 이용하여 푼다면, 구하고자 하는 갯수는

= 5 · 4 · 3 = 60

2. 조금 자세히 푼다면, 일대일 함수의 정의로 부터 서로 다른 두 원소에 대응하는 함수의 X에서 Y

로의 대응은 서로 다른 원소(또는 함수값)이어야 하고 이로부터,

정의역 X = {1, 2, 3}의 각 원소에 대하여, 예를 들어, 1에 대응하는 Y의 원소는 5개의 경우가 있다

면, 다시 2에 대응하는 Y의 원소는 4개의 경우가 있으며, 또 다시 3에 대응하는 Y의 원소는 3개의

경우가 있다. 이런 경우의 함수의 갯수는

= 5 · 4 · 3 = 60 이며 이것이 구하고자 하는 답이다.

Question 7.1.3. X = {a, b, c, d, e}, Y = {1, 2, 3}일 때, f : X → Y 인 함수 중 치역과 공역이 같은 함수

f의 갯수는?

Solution. 전체 함수의 갯수는

= 3

= 243 (7.1)

전체 함수의 갯수 (7.1) 에서 Y로의 함수 중에 Y의 원소 1개에 대응하는 함수들과 Y의 원소 2개에 대응하는

함수들을 빼 주어야 한다. 따라서,

− (1 · 3 + (

− 2) · 3)

⇐⇒ 243 − (3 + (32 −2) ·3)

7.1 함수 43

⇐⇒ 243 − (3 + 90) = 150 (7.2)

∴ 답은 150 (개)이다.

Question 7.1.4. X = {1, 2, 3}, Y = {3, 4, 5, 6, 7}일 때, f : X → Y 인 함수 중 단조 증가 함수 f의

갯수는? (즉, x

< x

⇒ f (x

) < f (x

) )

Solution.

1. 간단히 풀면,

기호를 이용하여 단순히 공식을 이용하여 푼다면, 구하고자 하는 갯수는

2!3!

= 10

2. 조금 자세히 푼다면,

공역 Y = {3, 4, 5, 6, 7}의 원소의 갯수는 5개이고 정의역 X = {1, 2, 3}의 각 원소에 대하여, 즉

3개의 원소에 공역의 원소가 크기순으로 대응되어야 한다. 따라서 5개의 원소에서 3개를 고르는

경우이고 이 때 선택된 3개의 원소간의 순서에 따른 경우의 수가 3 ·2 ·1 = 6 이고 이 중에서 조건에

맞는 것은 1가지만 있으므로, 전체 만들어질 수 있는 함수의 갯수는

5 · 4 · 3

3 · 2 · 1

= 10 이다.

Question 7.1.5. X = {−1, 0, 1}일 때, f : X → Y 인 함수 중 우함수의 갯수와 기함수의 갯수를 각각

구하여라.

Solution.

1. 우함수 갯수 구하기 f(−x) = f(x)

f(−1) = f(1) = −1 ⇒ (f (0) = −1 ∨ f(0) = 0 ∨ f (0) = 1) 즉, 3가지

f(−1) = f(1) = 0 ⇒ (f (0) = −1 ∨ f(0) = 0 ∨ f (0) = 1) 즉, 3가지

f(−1) = f(1) = 1 ⇒ (f (0) = −1 ∨ f(0) = 0 ∨ f (0) = 1) 즉, 3가지

∴ 9가지

2. 기함수 갯수 구하기 f(−x) = −f(x)

f(−0) = −f(0) ⇐⇒ f(0) = −f (0) ⇐⇒ 2 · f (0) = 0

∴ f (0) = 0

한 편, 기함수가 될 수 있는 조건을 만족하기 위하여, 아래의 경우가 있다.

f(−1) = 1 ∧ f(1) = −1 즉, 1가지

f(−1) = 0 ∧ f(1) = 0 즉, 1가지

f(−1) = −1 ∧ f(1) = 1 즉, 1가지

∴ 3가지

Question 7.1.6. 함수 f (x)가 아래로 볼록인 함수이면 서로 다른 세 독립변수 x

, x

에 대하여

+ x

) <

f(x

) + f(x

)

임을 설명하여라.

7.1 함수 44

Solution. 요 문제는 Jensen inequality 의 한 예이다. 일반적으로는 수학적 귀납법 또는 미적분을 이용하여

증명한다. 그러나 방법은 더 있을 수 있다.

Question 7.1.7. f(x) = 5(x − 1)

(x − 3)

+ 2라 할 때, x에 대한 방정식 f(x) = k가 서로 다른 네

실근을 가질 k값의 범위와 네 실근의 합을 각각 구하여라.

Solution.

어쩌구 저쩌구...

Question 7.1.8. 함수 f : R → R이고 모든 실수에 대한 연속함수이다. f(x) + f(−x) = 0이고 f(−3) =

2, f(−1) = −5일 때, f(0) + f(1) + f(3)의 값을 구하여라.

Solution. 주어진 조건 f(x) + f(−x) = 0으로 부터 f(x) = −f(−x)이다. 따라서,

f(0) + f(1) + f(3)

= f(0) − f(−1) − f(−3)

= 0 − (−5) − 2

= 3

∴ 3

Question 7.1.9. 함수 f : R → R이고 모든 실수에 대한 연속함수이다. f(x) + f(4 − x) = 6이고

f(0) = −2일 때, f(2) + f(4)의 값을 구하여라.

Solution.

1. 간단히 풀고자 한다면, 단순히 x에 관련값을 대입하여 풀면 된다.

2. 또는 함수의 대칭을 짚어가며 풀어보고자 한다면,

f(x) + f(4 − x) = 6

⇐⇒ f(4 − x) = 6 − f(x)

⇐⇒ f(2 · 2 − x) = 2 · 3 −f (x)

따라서, f(x)는 (2,3)에 대칭인 함수이다. 즉, f(2) = 3

한편,

⇐⇒ f(4 − 0) = 6 − f(0)

⇐⇒ f(4) = 6 − f(0)

= 6 − (−2)

= 8

∴ f (2) + f (4) = 3 + 8 = 11

Question 7.1.10. f(x) = x

(−1 ≥ x ≥ 1)이고 f(x) = f(x + 2)일 때, f(1) + f (2) + ··· + f(100)의

값을 구하여라.

7.1 함수 45

Solution.

f(1) + f(2) + ··· + f (100)

= f(1) + f(−1) + f(1) + f(−1) + ··· + f(1) + f(−1)

= 50 · (f(1) + f(−1))

= 50 · (1 + 1) = 100

∴ 100

Question 7.1.11. 함수 y = f(x)가 f(x) = f(2 −x), f (4 − x) = f (4 + x)를 만족할 때, 함수 y = f(x)

는 주기가 p인 주기함수이다. 이 때, 양수 p의 값을 구하여라.

Solution.

f(4 − x) = f(4 + x)

⇐⇒ f(4 − (2 − x)) = f(4 + x)

⇐⇒ f(x + 2) = f(x + 4)

= x + 2라 하면 f(x

) = f(x

+ 2)

∴ p = 2

Question 7.1.12. 집합 X = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Y = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}이고, f : X → Y 이다. f(3) = 7

일 때, x

< x

⇒ f (x

) < f (x

)인 함수 f의 갯수를 구하여라.

Solution. f(3) = 7로 고정되었으므로, {1, 2} → {4, 5, 6}인 조건을 만족하는 함수의 갯수와 {4, 5, 6, 7} →

{8, 9, 10, 11}인 조건을 만족하는 함수의 갯수를 구하여 더한다. 따라서,

1. {1, 2} → {4, 5, 6}에서

= 3

2. {4, 5, 6, 7} → {8, 9, 10, 11}에서

= 1

∴ 4가지이다.

Question 7.1.13. f(x) = f (x + 2), g(x) = g(3 −x)일 때, k(x) = f(x) + g(x)는 주기가 p인 주기함수

이다. 양수 p의 값을 구하여라.

Solution.

g(x + 2) = g(3 − (x + 2)) = g(1 −x) (7.3)

그리고, 어쩌구 저쩌구

7.1.2 합성함수와 역함수

Theorem 7.1.2 (역함수성질).

1. h(x) = f

−1

(x) ⇒ f (f

−1

(x)) = f

−1

(f(x)) ⇒ f (h(x)) = h(f (x)) = x

2. h(x) = (f ◦g)

−1

(x) ⇒ (f ◦g)((f ◦g)

−1

(x)) = (f ◦g)

−1

((f ◦g)(x)) ⇒ (f ◦g)(h(x)) = h((f ◦g)(x)) =

3. h(x) = (f ◦ (x + a))

−1

(x) ⇒ (f (x + a))(h(x)) = h(f (x + a)) = x

7.2 유리함수와 무리함수 46

Note (알아두면 좋다).

f 와 y = x의 교점 ⇒ f와 f

−1

의 교점 (그 역은 성립하지 않는다.)

Note (알아두면 좋다).

(f : X → X) ∈ F ∧ f ◦ f = f

−1

⇒

1. f ◦ f ◦ f = I

2. f(a) = b ⇒ f(b) 6= a

Proof.

1. f ◦ f ◦ f = f

−1

◦ f = I

2. 귀류법

1) f(b) = a 라 가정

2) f

−1

(a) = b ⇒ f(f(a)) = b ⇒ f(b) = b ⇒



Note (유사한 것 정리).

1. (f ◦ f ◦ f = I) ⇐⇒ (f(a) = b → f (b) 6= a)

2. (f ◦ f = I) ⇐⇒ (f(a) = b → f (b) = a)

3. (f ◦ f = f) ⇐⇒ (f(a) = b → f(b) = b)

7.2 유리함수와 무리함수

7.2.1 유리함수

Deﬁnition 7.2.1 (유리식). 두 다항식 A, B(B 6= 0) 에 대하여

의 꼴로 나타낼 수 있는 식을 유리식이

라고 한다. 특히 B가 0이 아닌 상수이면

는 다항식이 되므로 다항식도 유리식이다.

Theorem 7.2.1 (비례식의 성질, proportional expression). a : b = c : d (

)가 성립하면,

1. ad = bc

a + b

c + d

a − b

c − d

a + b

a − b

c + d

c − d

5. 加比之理 (가비의 리)

⇒

a + c + e

b + d + f

pa + qc + re

pb + qd + rf

7.2 유리함수와 무리함수 47

Proof.

⇒

pa + qc + re

pb + qd + rf



7.2.2 무리함수

8 지수함수와 로그함수

8.1 지수와 로그

8.1.1 거듭제곱과 거듭제곱근

Deﬁnition 8.1.1 (an nth root of a number x). an nth root of a number x, where n is usually assumed

to be a positive integer, is a number r which, when raised to the power n yields x:

= x,

where n is the degree of the root. A root of degree 2 is called a square root and a root of degree 3, a

cube root. Roots of higher degree are referred by using ordinal numbers, as in fourth root, twentieth

root, etc.

8.1.2 지수의 확장

8.2 로그의 뜻과 성질

Theorem 8.2.1 (Misc).

logax

= b

logbx

⇒ x =

logb

= b

loga

8.3 상용로그

Deﬁnition 8.3.1 (상용로그의 표현).

logN = z + α (where z ∈ Z ∧ 0 ≤ α < 1)

• z : 정수부분

• α : 소수부분

• log20 = 1 + 0.3010 = 1.3010

• log0.0002 = −4 + 0.3010 =

4.3010

• −2.699 6=

2.699

• −2.699 = −2 − 0.699 6= −2 + 0.699 =

2.699

Note (상용로그의 정수부분(지표)).

다음을 인지하면 상용로그의 정수부분과 진수의 자릿수간의 관계를 이해하기 쉽다.

8.4 지수함수와 로그함수 49

1. log10 = 1 : 진수 소수점 위 2자리, 정수부분 1자리

2. log10

−1

1 : 진수 소수점 아래 1자리, 정수부분 -1

Note (상용로그의 소수부분(가수)).

다음을 인지하면 상용로그의 소수부분과 진수의 숫자의 배열 관계를 이해하기 쉽다.

진수가 N인 로그 logN에서 N = a ·10

(where 1 ≤ a < 10 ∧ z ∈ Z) 와 같이 표현될 수 있다.

이 때, 또 다른 진수 N

가 ∃(z

∈ Z) N

= a · 10

이면 N과 N

의 소수부분은 같다.

8.4 지수함수와 로그함수

8.4.1 지수함수

Deﬁnition 8.4.1 (지수함수). ∀x ∈ R에 대하여, a

의 값은 하나로 정해지므로,

y = a

(a > 0, a 6= 1)

은 x의 함수이다. 이 함수를 a를 밑으로 하는 지수함수라 한다.

Question 8.4.1.

lim

x→∞

−x

Solution. We know that e

∞

k=0

−x

k=0

∞

k=n+1

. We conclude that lim

x→∞

−x

= 0

8.4.2 로그함수

Deﬁnition 8.4.2 (로그함수). y = a

(a > 0, a 6= 1)의 역함수는

y = log

x (a > 0, a 6= 1)

이다. 이 함수를 a를 밑으로 하는 로그함수라 한다.

8.4.3 지수함수와 로그함수의 미분

Theorem 8.4.1 (지수함수의 미분). 지수함수 y = a

f(x)

의 도함수는 다음과 같다.

= a

f(x)

· f

(x)

Proof. Let u = f(x), then

= a

· ln a

f(x)

= a

f(x)

· ln a · f

(x)



8.4 지수함수와 로그함수 50

Theorem 8.4.2 (로그함수의 미분). 로그함수 y = log f(x)의 도함수는 다음과 같다.

log

f(x) =

f(x) · ln a

· f

(x)

Proof. Let u = f(x), then

u · ln a

log

f(x) =

f(x) · ln a

· f

(x)



9 삼각함수

9.1 삼각함수

9.1.1 일반각

Deﬁnition 9.1.1 (시초선과 동경(radius vector)). 오른쪽 그림에서 ∠XOP는 고정된 반직선 OX의 위치

에서 점 O 를 중심으로 반직선 OP가 회전하여 만들어진 도형으로 그 회전한 양을 ∠XOP의 크기라 한다.

이때 반직선 OX를 시초선, 반직선 OP를 동경이라 한다.

Figure 9.1: 시초선과 동경

Deﬁnition 9.1.2 (각의 방향). 동경 OP가 점 O를 중심으로 회전할 때 시계 바늘이 도는 방향과 반대

방향을 양의 방향, 시계 바늘이 도는 방향과 같은 방향을 음의 방향 이라 하고, 각의 크기는 회전 방향이

양의 방향이면 양의 부호(+), 음의 방향이면 음의 부호(-) 를 붙여 나타낸다.

Figure 9.2: 시초선과 동경

Note (두 동경의 위치관계).

9.1 삼각함수 52

Figure 9.3: 두 동경의 위치관계

9.1.2 호도법

Deﬁnition 9.1.3 (육십분법). 원의 둘레를 360등분하여 각 호에 대한 중심각의 크기를 1도, 1도의 1/60

을 1분, 1분의 1/60을 1초로 정의하여 각의 크기를 나타내는 방법

Deﬁnition 9.1.4 (1 radian). 1 radian은 호의 길이가 반지름의 길이와 같은 부채꼴의 중심각의 크기로,

육십분법으로 나타내면 약 57

◦

이다.

9.1.3 삼각함수

Deﬁnition 9.1.5 (삼각방정식의 일반해와 특수해).

1. 일반해 : 각의 범위를 제한하지 않고 구한 삼각방정식의 해

2. 특수해 : 제한된 범위에서 구한 삼각방정식의 해

Note (삼각방정식의 일반해).

n이 정수일 때

1. sinx = a(|a| ≤ 1)의 한 해를 α라 하면 ( i.e. sinx = sinα )

x = (−1)

α + nπ

2. cosx = a(|a| ≤ 1)의 한 해를 α라 하면 ( i.e. cosx = cosα )

x = ±α + 2nπ

9.2 삼각함수의 그래프 53

3. tanx = a의 한 해를 α라 하면

x = α + nπ

9.2 삼각함수의 그래프

9.2.1 삼각함수의 그래프

Theorem 9.2.1 (최대값최소 관련).

(f(x) = asinx + ocosx) ⇒ (Max(f ) = f (α) ⇒ tanα =

)

Question 9.2.1.

함수 f(x) = 3sinx + 4cosx 가 x = α 에서 최대값을 가질 때, tanα의 값을 구하시오. (단, 0 ≤ x ≤ π)

Solution.

∴

9.3 사인법칙과 코사인법칙

Note (삼각형에서 사인법칙을 이용하는 경우).

1. 두 변의 길이와 끼이지 않은 한 각의 크기가 주어질 때

2. 두 각의 크기와 끼이지 않은 한 변의 길이가 주어질 때

Note (삼각형에서 코사인 제2법칙을 이용하는 경우).

1. 두 변의 길이와 끼이지 않은 한 각의 크기가 주어질 때

2. 두 변의 길이와 끼인 각의 크기가 주어질 때

3. 세 변의 길이가 주어질 때

9.3.1 사인법칙

Deﬁnition 9.3.1 (삼각형의 6요소). 삼각형 ABC의 세 각 ∠A, ∠B, ∠C의 크기를 A, B, C로 나타내고,

이들의 대변 BC, CA, AB의 길이를 각각 a, b, c로 나타낸다. 이때 세 각의 크기와 세 변의 길이, 즉

A, B, C, a, b, c를 삼각형의 6요소라 한다.

Theorem 9.3.1 (삼각함수 법칙).

• 사인법칙 : 삼각형 ABC의 외접원의 반지름의 길이를 R라 하면 삼각형 ABC 의 세 변의 길이와

세 각의 크기 사이에는 다음과 같은 관계가 성립 하는데 이를 사인법칙이라 한다.

sinA

sinB

sinC

= 2R

• 사인법칙의변형

sinA =

, sinB =

, sinC =

9.3 사인법칙과 코사인법칙 54

a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC

a : b : c = sinA : sinB : sinC

• 제 1 코사인 법칙

a = bcosC + ccosB

b = ccosA + acosC

c = acosB + bcosA

• 제 2 코사인 법칙

= b

+ c

− 2bccosA

= c

+ a

− 2cacosB

= a

+ b

− 2abcosC

cosA =

+ c

− a

2bc

cosB =

+ a

− b

2bc

cosC =

+ b

− c

2bc

Theorem 9.3.2 (삼각형의 넓이).

1. S =

absinC =

bcsinA =

casinB

2. 외접원의 반지름의 길이를 R이라 할 때,

S =

abc

= 2R

sinAsinBsinC

3. 내접원의 반지름의 길이를 r이라 할 때,

S =

r(a + b + c)

4. 헤론의 공식 : s =

a + b + c

이라 할 때,

S =

s(s − a)(s − b)(s − c)

Theorem 9.3.3 (반각의 공식).

1. 반각의 공식

sin

1 − cosθ

cos

1 + cosθ

tan

1 − cosθ

1 + cosθ

2. tan

= t라면,

9.3 사인법칙과 코사인법칙 55

sinθ =

1 + t

cosθ =

1 − t

1 + t

tanθ =

1 − t

Theorem 9.3.4 (3배각).

• sin3α = 3sinα − 4sin

• cos3α = 4cos

α − 3cosα

Theorem 9.3.5 (삼각함수 곱을 합차로).

• sinαcosβ =

{sin(α + β) + sin(α −β)}

• cosαsinβ =

{sin(α + β) − sin(α −β)}

• cosαcosβ =

{cos(α + β) + cos(α −β)}

• sinαsinβ = −

{cos(α + β) − cos(α −β)}

Theorem 9.3.6 (삼각함수 합차를 곱으로).

• 살 프 살은 살고

• 살 마 살은 고생이다

• 고 프 고는 고고생이고

• 고 마 고는 잘산다

S+S=2SC

S-S=2CS

C+C=2CC

C-C=-2SS

• sinA + sinB = 2sin

A + B

cos

A − B

• sinA − sinB = 2cos

A + B

sin

A − B

• cosA + cosB = 2cos

A + B

cos

A − B

• cosA − cosB = −2sin

A + B

sin

A − B

9.4 삼각함수의 미분 56

9.3.2 코사인법칙

9.3.3 다각형의 넓이

9.4 삼각함수의 미분

Theorem 9.4.1 (삼각함수의 덧셈정리). 삼각함수의 덧셈정리는 다음과 같다.

1. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ

2. cos(α + β) = cosαcosβ − sinαsinβ

cos(α − β) = cosαcosβ + sinαsinβ

3. tan(α + β) =

tanα + tanβ

1 − tanαtanβ

tan(α − β) =

tanα − tanβ

1 + tanαtanβ

Theorem 9.4.2 (삼각함수의 합성). 두 삼각함수의 합 c sin θ + d cos θ(c 6= 0, d 6= 0)를 다음과 같이

하나의 삼각함수로 변형하는 것을 삼각함수의 합성이라 한다.

a sin θ + o cos θ =

+ o

sin(θ + β) (where sin β =

√

+ o

, cos β =

√

+ o

) (9.1)

o sin θ + a cos θ =

+ o

cos(θ −β) (where sin β =

√

+ o

, cos β =

√

+ o

) (9.2)

Theorem 9.4.3 (배각의 공식).

• sin2x = 2sinxcosx =

2tanx

1 + tan

• cos2x = cos

x − sin

x = 2cos

x − 1 = 1 − 2sin

x =

1 − tan

1 + tan

• tan2x =

2tanx

1 − tan

Theorem 9.4.4 (3배각의 공식).

• sin3x = 3sinx −4sin

• cos3x = 4cos

x − 3cosx

• tan3x =

3tanx − tan

1 − 3tan

Theorem 9.4.5 (반각의 공식).

• cos

1 + cosx

• sin

1 − cosx

• tan

1 − cosx

1 + cosx

10 수열

10.1 수열의 뜻

Deﬁnition 10.1.1 (수열과 일반항). 차례로 나열한 수의 열을 수열이라 하고, 수열을 이루고 있는 각

수를 그 수열의 항이라고 한다.

일반적으로 수열을

, a

, ..., a

, ...

과 같이 나타내고, 앞에서부터 차례로 첫째항, 둘째항, 셋째항, ..., n째항, ... 또는 제1항, 제2항, 제3항, ...,

제n항, ... 이라고 한다.

10.2 등차수열

Deﬁnition 10.2.1 (등차수열). 어떤 수에서 시작하여 차례로 일정한 수를 더해서 만들어지는 수열을

등차수열이라 하고, 그 일정한 수를 공차라 한다.

일반적으로 수열 a

, a

, ..., a

, a

n+1

, ... 이 첫째 항이 a, 공차가 d인 등차수열을 이룰 때 다음 관계식이

성립한다. a

= a

n+1

− a

= d 또는 a

n+1

= a

+ d (단, n = 1, 2, 3, ...)

Deﬁnition 10.2.2 (등차수열의 일반항). 첫째 항이 a, 공차가 d인 등차수열의 일반항(제 n항)을 a

이라면 a

= a + (n − 1)d

Deﬁnition 10.2.3 (등차중항). 세 수 a, b, c가 이 순서로 등차수열을 이룰 때 b를 a, c의 등차중항이라

한다.

• a, b, c가 등차수열 ⇔ 2b = a + c ⇔ b = (a + c)/2

• a, c의 등차중항 ⇔ a, c 의 산술평균

Deﬁnition 10.2.4 (조화수열). 어떤 수열의 각 항의 역수가 등차수열을 이룰 때 그 수열을 조화수열이라

한다. 곧,

, ...,

이 등차수열 ⇐⇒ a

, a

, ..., a

이 조화수열

Deﬁnition 10.2.5 (조화중항). 0이 아닌 세수 a, b, c 가 이 순서로 조화수열을 이룰 때 b를 a, c의 조화중항

또는 조화평균이라고 한다.

Theorem 10.2.1. b가 a, c의 조화중항이라 할 때,

•

⇐⇒ x =

2ac

a + c

Theorem 10.2.2. b가 a, c의 등차중항이라 할 때,

10.2 등차수열 58

• ac < b

•

10.2.1 중항

Let a > 0, b > 0.

• 등차중항(산술평균) - an arithmetical mean

A =

a + b

• 등비중항(기하평균) - a mean proportional (a geometric mean)

G =

√

• 조화중항 - a harmonic mean

H =

2ab

a + b

A ≥ G ≥ H

= AH

10.2.2 등차수열의 합

Theorem 10.2.3.

등차수열의 첫째항부터 제 n항까지의 합 S

은

1. 첫째항이 a, 제 n항이 l일 때,

n(a + l)

2. 첫째항이 a, 공차가 d일 때,

{n(2a + (n − 1)d}

10.2.3 수열의 합과 일반항 사이의 관계

Theorem 10.2.4.

수열의 {a

}의 첫째항부터 제 n항까지의 합 S

에 대하여 다음이 성립한다.

= S

, a

= S

− S

n−1

(n ≥ 2)

1. 첫째항이 a, 제 n항이 l일 때,

n(a + l)

10.3 등비수열 59

2. 첫째항이 a, 공차가 d일 때,

{n(2a + (n − 1)d}

Theorem 10.2.5.

수열 {a

}의 첫째항부터 제 n항까지의 합 S

이

= An

+ Bn + C (where A, B, C : Constant) ⇒

1. 첫째항이 C = 0 ⇒ 수열 {a

}은 첫째항부터 등차수열을 이룬다.

2. 첫째항이 C 6= 0 ⇒ 수열 {a

}은 제2항부터 등차수열을 이룬다.

10.3 등비수열

10.3.1 등비수열의 합

Theorem 10.3.1.

첫째항이 a, 공비가 r인 등비수열의 첫째항부터 제 n항까지의 합 S

은

1. r 6= 1일 때,

a(1 − r

)

1 − r

a(r

− 11)

r −1

2. r = 1일 때,

= na

Theorem 10.3.2.

수열 {a

}의 첫째항부터 제 n항까지의 합 S

이

= Ar

+ B (where r 6= 0, r 6= 1, A, B : Constant) ⇒

1. A + B = 0 ⇒ 수열 {a

}은 첫째항부터 등비수열을 이룬다.

2. A + B 6= 0 ⇒ 수열 {a

}은 제2항부터 등비수열을 이룬다.

10.3.2 등비수열의 합의 활용

Deﬁnition 10.3.1 (원리합계). 원금과 이자를 합한 금액을 원리합계라 한다.

Deﬁnition 10.3.2 (期首拂예금). 적립 예금에서, 각 기간의 첫날에 적립하는 것을 기수불예금이라 한다.

Deﬁnition 10.3.3 (期末拂예금). 적립 예금에서, 각 기간의 마지막날에 적립하는 것을 기말불예금이라

한다.

Theorem 10.3.3 (등비수열의 합). 등비수열의 합은 다음과 같다.

• If r 6= 1, then S

a(1 − r

)

1 − r

• If r = 1, then S

= na

10.3 등비수열 60

Proof. To prove it by contradiction try and assume that the statement is false, proceed from there

and at some point you will arrive to a contradiction. 

Theorem 10.3.4 (복리법). 처음의 양을 a, 매시간 (또는 매년) 변하는 일정한 변화율을 r라 하면 n시간

(또는 n년) 후의 양은

a(1 + r)

Theorem 10.3.5 (기수불 예금 원리합계-단리법,복리법). 기수불 예금에서 원금을 a, 이율을 r, 기간을

n, 원리합계를 S라 할 때

• 단리법으로 계산하면 ⇒ S = a(1 + rn)

• 복리법으로 계산하면 ⇒ S = a(1 + r)

Corollary 10.3.5.1 (기수불 적립 원리합계-복리법). 기수불 복리법이며, 연이율은 r이고 매년 a를 적

립하면 n년 말의 적립총액은

S =

a(1 + r){(1 + r)

− 1}

Proof. 구하는 적립총액을 S원이라 하면,

S = a(1 + r) + a(1 + r)

+ a(1 + r)

+ ... + a(1 + r)

⇒ S =

a(1 + r){(1 + r)

− 1}

(1 + r) − 1

a(1 + r){(1 + r)

− 1}



Corollary 10.3.5.2 (기말불 적립 원리합계-복리법). 기말불 복리법이며, 연이율은 r이고 매년 a를 적

립하면 n년 말의 적립총액은

S =

a{(1 + r)

− 1}

Deﬁnition 10.3.4 (연부상환). 어떤 돈을 빌려쓰고, 매년 일정한 금액씩 갚아가는 것을 연부상환이라

하고, 이 일정한 금액을 연부금이라 한다. 또, 매월 일정한 금액씩 갚아가는 경우에는 이를 월부상환이라

하고, 이 일정한 금액을 월부금이라 한다.

Theorem 10.3.6 (연부상환). 연초에 A원을 빌리고, 그 해 말부터 매년 일정한 금액씩 갚아 n년간에

모두 갚으려고 한다. 매년 얼마씩 갚으면 좋은가? 단, 연이율 r, 1년마다 복리로 계산한다.

Proof. A원에 대한 n년 말의 원리합계는 A(1 + r)

원 ··· — ①

한편, 매년 말에 x원씩 적립했다고 할 때 이들의 n년말에 가서의 원리합계는 x + x(1 + r) + x(1 + r)

··· + x(1 + r)

n−1

x{(1 + r)

− 1}

(1 + r) − 1

··· — ②

①과 ②는 같아야 하므로

x{(1 + r)

− 1}

= A(1 + r)

∴ x =

rA(1 + r)

(1 + r)

− 1



10.4 수열의 합 61

Deﬁnition 10.3.5 (연금의 현가). 일정한 금액이 일정한 시기마다 계속해서 지급될 때 이것을 연금이라

고 부른다. 그런데 이 연금은 장래에 받을 돈이므로 현재에 있어서는 그 액면대로의 가치가 없다. 그래서

이와 같은 연금을 현재의 값으로 따져 얼마의 가치가 있는 가를 생각해 본 것이 연금의 현가이다.

Theorem 10.3.7 (연금의 현가). 금년부터 매년말에 a원씩 n년간 계속해서 지급되는 연금이 있다. 이

연금을 금년 초에 한꺼번에 받는다면 얼마를 받아야 하는가? 단, 연이율 r, 1년마다 복리로 계산한다.

Proof. 연금현가를 P원이라 하면,

P (1 + r)

= a + a(1 + r) + a(1 + r)

+ ··· + a(1 + r)

n−1

∴ P (1 + r)

a{(1 + r)

− 1)}

(1 + r) − 1

∴ P =

a{(1 + r)

− 1)}

r(1 + r)



Theorem 10.3.8 (현가). n년말에 fv(future value)를 지급받는다. 금년말을 1년말이라고 치고 n년말에

fv를 지급받는다. 단 연이율 r, 1년마다 복리로 계산한다. fv의 현재가치(pv)는?

Proof. 1년말과 n년말로 구분해 본다.

• 1년말 : fv = pv + pv ×r = pv × (1 + r)

• n년말 : fv = pv × (1 + r)

∴ pv =

(1 + r)



10.4 수열의 합

Deﬁnition 10.4.1 (합의 기호

의 정의).

k=1

= a

+ a

+ ··· + a

n−1

+ a

Theorem 10.4.1 (자연수의 거듭제곱의 합).

•

k=1

k =

n(n + 1)

•

k=1

n(n + 1)(2n + 1)

•

k=1

k = {

n(n + 1)

}

Theorem 10.4.2 (연속한 자연수들의 곱의 합).

•

k=1

k(k + 1) =

n(n + 1)(n + 2)

10.4 수열의 합 62

•

k=1

k(k + 1)(k + 2) =

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)

•

k=1

k(k + 1)(k + 2)(k + 3) =

n(n + 1)(n + 2)(n + 3)(n + 4)

Proof.

Figure 10.1: 쎈수학에서 내용 가져왔음



Theorem 10.4.3 (분모가 무리식인 수열의 합).

10.5 수학적 귀납법 63

k=1

√

k +

√

k + 1

k=1

√

k + 1 −

√

Theorem 10.4.4 ((등차수열) · (등비수열) 꼴의 수열의 합).

1 ·5 + 2 ·5

+ 3 ·5

+ ···+ n ·5

+ ··· 과 같이 등차수열과 등비수열의 각 항의 곱으로 이루어진 수열의

합은 다음과 같은 순서로 구한다.

1. 주어진 수열의 합을 S로 놓는다.

2. 등비수열의 공비가 r일 때, S − rS를 계산한다. (단, r 6= 1)

3. S의 값을 구한다.

Deﬁnition 10.4.2 (군수열).

주어진 수열을 몇 개의 항씩 묶어서 규칙성을 가진 군으로 나눌 수 있는 수열을 군수열이라 한다.

Theorem 10.4.5 (군수열).

아래는 군수열이다.

Figure 10.2: 군수열

이와 같은 군수열에 대한 문제는 다음과 같은 순서로 해결한다.

1. 수열의 각 항의 규칙을 파악하여 군으로 묶는다.

2. 각 군의 항의 개수와 제 n군까지의 항의 개수를 파악한다.

3. 제 n군의 항에 대한 규칙을 파악한다.

4. 제 k항이 몇 번째 군의 몇 번째 항인지 확인한다.

Theorem 10.4.6 (일반항이 a

= f(n + 1) − f(n)인 수열의 합 ).

k=1

(f(k + 1) − f(k)) = f(n + 1) − f (1)

10.5 수학적 귀납법

Deﬁnition 10.5.1 (점화식).

수학에서 점화식(漸化式) 또는 재귀식(再歸式, Recurrence relation)이란 인접한 항들 사이의 관계식을

말한다. 즉, 수열 {a

} 의 각 항 a

이 함수 f 를 이용해서

n+1

= f(a

)

처럼 귀납적으로 정해져 있을 때, 함수 f를 수열 {a

} 의 점화식 이라고 하며, 또한, 수열 {a

} 은 점화식

f 로 정의된다고 한다.

10.5 수학적 귀납법 64

점화식을 푼다 는 것은 귀납적으로 주어진 수열 {a

} 의 일반항 a

을 n 의 명시적인 식(explicit formula)

으로 나타내는 것을 말한다.

Deﬁnition 10.5.2 (수열의 귀납적 정의). 수열 {a

}에 대하여

1. 첫째항 a

의 값

2. 이웃하는 두 항 a

, a

n+1

사이의 관계식 where n ∈ N

과 같이 처음 몇 개의 항과 이웃하는 여러 항 사이의 관계식으로 정의하는 것을 수열의 귀납적 정의라

한다.

10.5.1 계차수열과 군수열

10.5.2 수열의 귀납적 정의

10.5.3 귀납적으로 정의된 수열의 일반항

Theorem 10.5.1 (귀납적으로 정의된 수열의 일반항).

1. a

n+1

= a

+ f(n)

= a

+ f(1) + f(1) + f(2) + ··· + f(n − 1) = a

n−1

k=1

f(k)

2. a

n+1

= a

· f(n)

= a

· f(1) · f(1) · f(2) · ··· · f(n − 1) = a

n−1

k=1

f(k)

11 수열의 극한

11.1 수열의 수렴과 발산

Deﬁnition 11.1.1 (수열의 수렴). 수열 {a

}에서 a

이 한없이 커질때, a

의 값이 일정한 값 α에 한없이

가까워지면 수열 {a

}은 α에 수렴한다고 한다. 이때 α를 수열 {a

}의 극한값 또는 극한이라 하고, 이것을

기호로

lim

n→∞

= α 또는 n → ∞일 때 a

→ α

와 같이 나타낸다.

Deﬁnition 11.1.2 (수열의 발산). 수열 {a

}이 수렴하지 않을 때, 이 수열은 발산한다고 한다.

Note. 수열 {a

}이 발산하는 경우는 아래의 3가지 경우로 나눌 수 있다.

1. 양의 무한대로 발산

lim

n→∞

= ∞ 또는 n → ∞일 때 a

→ ∞

2. 음의 무한대로 발산

lim

n→∞

= −∞ 또는 n → ∞일 때 a

→ −∞

3. 진동 수열 {a

}이 수렴하지도 않고 양의 무한대나 음의 무한대로 발산하지도 않으면 수열 {a

}은

진동한다고 한다.

11.2 수열의 극한에 대한 기본 성질

Theorem 11.2.1 (수열의 극한에 대한 기본 성질). 두 수열 {a

}, {a

}이 수렴하고 lim

n→∞

= α,

lim

n→∞

= β (α, β는 실수)일 때, 다음이 성립한다.

lim

n→∞

+ b

) = lim

n→∞

+ lim

n→∞

lim

n→∞

− b

) = lim

n→∞

− lim

n→∞

lim

n→∞

(c · a

) = c · lim

n→∞

(when c is constant)

lim

n→∞

· b

) = lim

n→∞

· lim

n→∞

lim

n→∞

) = lim

n→∞

/ lim

n→∞

(when b

, lim

n→∞

6= 0)

11.3 수열의 극한값의 계산 66

11.3 수열의 극한값의 계산

11.4 수열의 극한값의 대소 관계

Theorem 11.4.1 (수열의 극한의 대소 관계). 두 수열 {a

}, {a

}이 수렴하고 lim

n→∞

= α, lim

n→∞

= β

(α, β는 실수)일 때, 다음이 성립한다.

(∀n ∈ N)(a

≤ b

→ α ≤ β)

(수열 {c}에 대하여, ∀n ∈ N)(a

≤ c

≤ b

∧ α = β → lim

n→∞

= α)

11.5 등비수열의극한

Theorem 11.5.1 (등비수열의 수렴과 발산). 초항은 1, 공비는 r, 즉 일반항이 a

= r

n−1

인 등비수열

}은 공비 r의 값의 범위에 따라 수렴 또는 발산한다.

r > 1 → lim

n→∞

= ∞

r = 1 → lim

n→∞

= 1

|r| < 1 → lim

n→∞

= 0

r ≤ −1 → lim

n→∞

은 진동 i.e. 발산

Theorem 11.5.2 (등비수열의 수렴 조건). 초항은 a, 공비는 r, 즉 일반항이 a

= ar

n−1

인 등비수열

}의 수렴 조건은 다음과 같다.

(a = 0) ∨(−1 < r ≤ 1)

11.6 급수의 수렴과 발산

11.7 급수와 수열의 극한 사이의 관계

11.8 등비급수

11.9 급수의성질

12 함수의 극한과 연속

12.1 함수의 극한

12.1.1 함수의 수렴과 발산

12.1.2 우극한과 좌극한

12.1.3 함수의 극한에 대한 성질

12.1.4 함수의 극한의 응용

Deﬁnition 12.1.1 (the limit of a function). f : D → R be a function deﬁned on a subset D ⊆ R, let

a be a limit point of D, and let L be a real number. Then the function f has a limit L at a

is deﬁned to mean

for all ε > 0, there exists a δ > 0 such that for all x in D that satisfy 0 < |x − c| < δ, the inequality

|f(x) − L| < ε holds.

Symbolically:

lim

x→a

f(x) = L ⇐⇒ (∀ε > 0)(∃ δ > 0)(∀x ∈ D)(0 < |x − a| < δ ⇒ |f(x) − L| < ε)

Deﬁnition 12.1.2 (One-sided limit, right-sided limit).

lim

x→a

f(x) ⇐⇒ (∀ε > 0)(∃ δ > 0)(∀x ∈ D)(0 < x − a < δ ⇒ |f(x) − L| < ε)

Deﬁnition 12.1.3 (One-sided limit, left-sided limit).

lim

x→a

−

f(x) ⇐⇒ (∀ε > 0)(∃ δ > 0)(∀x ∈ D)(0 < a − x < δ ⇒ |f(x) − L| < ε)

Theorem 12.1.1 (함수의 극한에 대한 성질). lim

x→p

f(x) 와 lim

x→p

g(x) 가 수렴할 때,

lim

x→p

(f(x) + g(x)) = lim

x→p

f(x) + lim

x→p

g(x)

lim

x→p

(f(x) − g(x)) = lim

x→p

f(x) − lim

x→p

g(x)

lim

x→p

(f(x) · g(x)) = lim

x→p

f(x) · lim

x→p

g(x)

lim

x→p

(f(x)/g(x)) = lim

x→p

f(x)/ lim

x→p

g(x), when lim

x→p

g(x) 6= 0

Theorem 12.1.2 (미정계수의 결정). lim

x→a

f(x)

g(x)

= L (L은 상수) 일 때,

lim

x→a

f(x) = 0 ∧ L 6= 0 ⇒ lim

x→a

g(x) = 0 (12.1)

lim

x→a

g(x) = 0 ⇒ lim

x→a

f(x) = 0 (12.2)

12.2 함수의 연속 68

12.2 함수의 연속

12.2.1 함수의 연속

Deﬁnition 12.2.1 (Continuity). A function f is said to be continuous at c if it is both deﬁned at c

and its value at c equals the limit of f as x approaches c.

lim

x→c

f(x) = f(c)

12.2.2 연속함수

Theorem 12.2.1 (연속함수의 성질). 두 함수 f (x), g(x) 가 x = c 에서 연속이면 다음 함수도 모두

x = c 에서 연속이다.

1. kf(x), 단 k는 상수

2. f(x) ± g(x)

3. f(x)g(x)

f(x)

g(x)

, 단 g(x) 6= 0

Theorem 12.2.2 (EVT : The Maximum Minimum Theorem).

f ∈ C

([a, b], R) ⇒ (∀x ∈ [a, b])(∃c ∈ [a, b])(∃d ∈ [a, b])(f(c) ≥ f (x) ∧ f(d) ≤ f(x))

Theorem 12.2.3 (EVT : 최대 · 최소 정리).

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이면 f (x)는 이 구간에서 반드시 최댓값과 최솟값을 갖는다.

12.2.3 사잇값 정리

Theorem 12.2.4 (IVT : The intermediate value theorem).

f ∈ C

([a, b], R) ∧ f(a) 6= f(b) ⇒ (∀k ∈ (Min(f(a), f(b)), Max(f(a), f(b)))(∃c ∈ (a, b))(f(c) = k)

Theorem 12.2.5 (사잇값 정리).

함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고, f(a) 6= f (b)이면 f(a)와 f(b) 사이의 임의의 실수 k에 대하여

f(c) = k인 c가 열린 구간 (a, b)에 적어도 하나 존재한다.

Corollary 12.2.5.1 (Bolzano’s theorem).

(f ∈ C

([a, b], R) ∧ (f(a)f(b) < 0)) ⇒ (∃c ∈ (a, b))(f(c) = 0)

Corollary 12.2.5.2 (사잇값 정리의 활용). 함수 f(x)가 닫힌구간 [a, b]에서 연속이고, f (a)f (b) < 0

이면 방정식 f(x) = 0은 열린 구간 (a, b)에서 적어도 하나의 실근을 갖는다.

13 미분

13.1 미분계수와 도함수

13.1.1 평균변화율과 미분계수

Deﬁnition 13.1.1 (증분).

함수 y = f(x)에서 x의 값이 a에서 b까지 변할 때, y의 값은 f(a)에서 f(b)까지 변한다. 이 때 x의 값의

변화량 b −a를 x의 증분, y의 값의 변화량 f(b) −f(a)를 y의 증분이라 하고, 기호로 각각 ∆x, ∆y와 같이

나타낸다. 즉,

∆x = b −a

∆y = f (b) −f (a) = f (a + ∆x) − f(a)

Deﬁnition 13.1.2 (평균변화율(ARC or MV) : Average Rate of Change).

ARC(f, a, b) = MV (f, a, b) =

∆y

∆x

f(b) − f(a)

b − a

f(a + ∆x) − f(a)

∆x

참고로 IRC : Instantaneous Rate of Change

Deﬁnition 13.1.3 (x=a 에서의 미분계수, 순간변화율, IRC).

IRC(f, a) = f

(a) = lim

∆x→0

f(a + ∆x) − f(a)

∆x

= lim

x→a

f(x) − f(a)

x − a

참고로 IRC : Instantaneous Rate of Change

IRC(f, a) = f

(a) = lim

∆x→0

ARC(f, a, a + ∆x)

Deﬁnition 13.1.4 (미분가능한 함수).

함수 y = f(x)가 어떤 구간에 속하는 모든 x에서 미분가능하면 함수 y = f(x)는 그 구간에서 미분가능하

다고 한다.

특히 함수 y = f (x)가 정의역에 속하는 모든 x에서 미분가능하면 함수 y = f(x)는 미분가능한 함수라

한다.

Note (연속 및 미분가능).

f(x) 가 x = α에서 불연속

1. f(x)(x − α)는 x = α에서 연속, x = α에서 미분가능 또는 미분불능

2. f(x)(x − α)(x − α)는 x = α에서 미분가능

13.1 미분계수와 도함수 70

f(x) 가 x = α에서 미분불능

1. f(x)는 x = α에서 연속 또는 불연속

2. f(x)(x − α)(x − α)는 x = α에서 미분가능

13.1.2 미분계수의 기하학적 의미

Note (미분계수).

(a)는 곡선 y = f (x) 위의 점 P (a, f(a))에서의 접선의 기울기와 같다.

13.1.3 미분가능성과 연속성

13.1.4 도함수와 미분법

Deﬁnition 13.1.5 (도함수-a derived function).

미분가능한 함수 y = f (x)의 정의역의 각 원소 x에 미분계수 f

(x)를 대응시키면 새로운 함수

: X → R, f

(x) = lim

∆x→0

f(x + ∆x) − f(x)

∆x

를 얻는다. 이 때 이 함수 f

(x)를 함수 f(x)의 도함수라 하고, 이것을 기호로

(x), y

f(x)

로 나타낸다.

Deﬁnition 13.1.6 (미분법).

함수 y = f(x)에서 도함수 f

(x)를 구하는 것을 함수 y = f(x)를 x에 대하여 미분한다고 하고, 그 계산법을

미분법이라 한다.

Theorem 13.1.1 (함수 y = x

(n은 양의 정수)과 상수함수의 도함수).

1. y = x

( n ∈ N)이면 y

= nx

n−1

2. y = c (c는 상수)이면 y

= 0

Theorem 13.1.2 (함수의 실수배, 합, 차, 곱의 미분법). 세 함수 f(x), g(x), h(x)가 미분가능할 때

1. {kf(x)}

= kf

(x) (단, k는 상수)

2. {f(x) + g(x)}

= f

(x) + g

(x)

3. {f(x) − g(x)}

= f

(x) − g

(x)

4. {f(x)g(x)}

= f

(x)g(x) + f(x)g

(x)

5. {f(x)g(x)h(x)}

= f

(x)g(x)h(x) + f(x)g

(x)h(x) + f(x)g(x)h

(x)

6. [{f(x)}

]

= n{f(x)}

n−1

(x) (단, n은 양의 정수)

13.1 미분계수와 도함수 71

Theorem 13.1.3 (미분과 나머지정리의 관계).

1. 이차 이상의 다항식 f(x)에서

Mod(f(x), (x − a)

) = f

(a)(x − a) + f(a) (13.1)

2. 이차 이상의 다항식 f(x)에서

Mod(f(x), (x − a)

) = 0 ⇐⇒ f(a) = 0, f

(a) = 0 (13.2)

Proof.

(13.1)의 경우

다항식 f(x)를 (x − a)

으로 나누었을 때의 몫을 Q(x), 나머지를 mx + n이라 하면

f(x) = (x − a)

Q(x) + mx + n (1)

(1)의 양변을 x에 대하여 미분하면

(x) = 2(x − a)Q(x) + (x − a)

(x) + m (2)

(1), (2)에 x = a를 대입하면

f(a) = ma + n, 즉 n = f(a) − ma (3)

(a) = m (4)

(3), (4)에서 mx + n = f

(a)x + f(a) − af

(a) = f

(a)(x − a) + f(a)

(13.2)의 경우

나누어 떨어지면 mx + n = 0, 즉 m = 0, n = 0이 되어야 하므로 (3), (4)에서 f(a) = 0, f

(a) = 0



Theorem 13.1.4 (기타).

• (even function)

= (odd function) : 미분 정의대로 하면 증명은 쉽다.

Figure 13.1: diﬀerentiation

Note (역함수 미분법 참고). • 역함수미분법

13.1 미분계수와 도함수 72

Theorem 13.1.5 (역함수의 미분법 - hakchin notation 1).

미분가능한 함수 f(x)의 역함수 f

−1

(x) = g(x)가 존재하고 미분가능할 때, x = f

−1

(y) = g(y)의 도함수는

다음과 같다.

(y) · f

(x) = 1 (13.3)

(x) · f

(y) = 1 (13.4)

Proof.

g(f(x)) = x ⇒ (g(f(x)))

= (x)

⇒ g

(f(x)) · f

(x) = 1 (where f

(x)) 6= 0)



Theorem 13.1.6 (역함수의 미분법 - hakchin notation2).

미분가능한 함수 f(x)의 역함수 f

−1

(x) = g(x)가 존재하고 미분가능할 때, y = f

−1

(x)의 도함수는 다음과

같다.

−1

(x)) · (f

−1

)

(x) = 1 (where f

−1

(x)) 6= 0) (13.5)

(y) · (f

−1

)

(x) = 1 (where f

−1

(x)) 6= 0) (13.6)

(y) · f

(x) = 1 (13.7)

(x) · f

(y) = 1 (13.8)

Proof.

f(f

−1

(x)) = x ⇒ (f(f

−1

(x)))

= (x)

⇒ f

−1

(x)) · (f

−1

)

(x) = 1 (where f

−1

(x)) 6= 0)



Theorem 13.1.7 (역함수의 미분법).

미분가능한 함수 f(x)의 역함수 f

−1

(x)가 존재하고 미분가능할 때, y = f

−1

(x)의 도함수는 다음과 같다.

or (13.9)

−1

)

(x) =

(y)

(where f

(y) 6= 0) (13.10)

13.2 도함수의 활용 73

Proof.

f(f

−1

(x)) = x ⇒ f

−1

(x))(f

−1

)

(x)) = 1

⇒ (f

−1

)

(x) =

−1

(x))

(y)

y = f

−1

(x) ⇒ x = f(y)

⇒

= (f

−1

)

(x),

= f

(y)

∴

(y)

(where f

(y) 6= 0)



Proof. 함수 y = f

−1

(x)에서 x = f (y)이고

= f

(y)이다. x = f(y)의 양변을 x에 대하여 미분하면

(x) =

(f(y)), 1 =

(f(y)) ·

= f

(y) ·

∴

(y)

(where f

(y) 6= 0)



Example 13.1.1 (역함수의 미분법). 미분가능한 함수 f(x)의 역함수를 g(x), f(3x − 5)의 역함수를

h(x)라 할 때, h

(x)를 g

(x)로 나타내면?

Solution. 함수 g(x) = f

−1

(x)이므로 f (g(x)) = x, 또 함수 h(x) = (f(3x−5))

−1

이므로 f (3x−5)(h(x)) =

x ⇒ f (3h(x) −5) = x 이므로 g(x) = 3h(x) −5이고 이것의 양변을 미분하면 g

(x) = 3h

(x) ⇒ h

(x) =

(x)

13.2 도함수의 활용

13.2.1 접선의 방정식과 평균값 정리

Theorem 13.2.1 (Rolle’s theorem).

f ∈ C

([a, b]) ∧ f ∈ C

((a, b)) ∧ f(a) = f(b) ⇒ ∃c ∈ (a, b)(f

Theorem 13.2.2 (Rolle’s theorem). If f : [a, b] → R is a continuous function, diﬀerentiable on the

open interval (a, b), and f(a) = f(b), then there exists at least one c in the open interval (a, b) such

that

13.2 도함수의 활용 74

This version of Rolle’s theorem is used to prove the mean value theorem, of which Rolle’s theorem is

indeed a special case. It is also the basis for the proof of Taylor’s theorem.

Theorem 13.2.3 (MVT).

f ∈ C

([a, b], R) ∧ f ∈ C

((a, b), R) ⇒ ∃c ∈ (a, b)(f

f(b) − f(a)

b − a

)

Theorem 13.2.4 (MVT-다른 표기).

f ∈ C

([a, b]) ∧ f ∈ C

((a, b)) ⇒ ∃c ∈ (a, b)(f

Theorem 13.2.5 (평균값 정리(MVT) : the mean value theorem). Let f : [a, b] → R be a continuous

function, and diﬀerentiable on the open interval (a, b), where a < b. Then there exists some c in (a, b)

such that

f(b) − f(a)

b − a

Example 13.2.1 (이차함수 관련).

이차함수 f(x)에 대하여 f

(

a + b

) =

f(b) − f(a)

b − a

13.2.2 함수의 증가와 감소

Note (notation idea for increasing). 다음을 참고하였다. Shorthand notation for ”increases” and ”de-

creases”

Deﬁnition 13.2.1 (증가함수). f ∈

I(R) ⇐⇒ x

< x

⇒ f (x

) < f (x

)

Deﬁnition 13.2.2 (감소함수). f ∈ −

I(R) ⇐⇒ x

< x

⇒ f (x

) > f (x

)

Deﬁnition 13.2.3 (증가상태). ∀h > 0, f(x − h) < f(a) < f(x + h)가 성립하면 f(x)는 x = a에서

증가상태에 있다고 한다.

Deﬁnition 13.2.4 (감소상태). ∀h > 0, f(x − h) > f(a) > f(x + h)가 성립하면 f(x)는 x = a에서

감소상태에 있다고 한다.

Theorem 13.2.6 (함수의 증가1). f ∈ C

((a, b)) ∧ (∀x ∈ (a, b))(f

(x) > 0) ⇒ f ∈

I((a, b))

Theorem 13.2.7 (함수의 감소1). f ∈ C

((a, b)) ∧ (∀x ∈ (a, b))(f

(x) < 0) ⇒ f ∈ −

I((a, b))

Theorem 13.2.8 (함수의 증가2). f ∈ C

((a, b)) ∧ f 는 증가상태 ∧ (∀x ∈ (a, b))(f

(x) ≥ 0) ⇒ f ∈

I((a, b))

Theorem 13.2.9 (함수의 감소2). f ∈ C

((a, b)) ∧ f 는 감소상태 ∧ (∀x ∈ (a, b))(f

(x) ≤ 0) ⇒ f ∈

−

I((a, b))

Theorem 13.2.10 (함수의 증가3). f ∈ C

((a, b)) ∧ f ∈

I((a, b)) ⇒ f

(x) ≥ 0

Theorem 13.2.11 (함수의 감소3). f ∈ C

(I) ∧ f ∈ −

I(I) ⇒ f

(x) ≤ 0

13.2.3 함수의 극대와 극소

Deﬁnition 13.2.5 (임계점, critical point).

a ∈ Dom(f) ∧ a is a critical point ⇐⇒ f

(a) = 0 ∨ f

(a) does not exist.

13.2 도함수의 활용 75

Note (Extrema & Critical point).

극값을 갖는다



임계값을 갖는다.

Deﬁnition 13.2.6 (극대, local Maximum). 함수 f(x)가 x = a에서 연속이고 x = a의 좌우에서 f(x)

가 증가상태에서 감소상태로 바뀔 때, f(x)는 x = a에서 극대라 하며, f(a)를 극댓값이라 한다.

Deﬁnition 13.2.7 (극대, local Maximum). lim

x→a

f(x) = f(a) ∧∃h > 0, ∀x ∈ (a −h, a + h), f (a) ≥

f(x) 이면 f(x)는 x = a에서 극대라 하며, f(a)를 극댓값이라 한다.

Deﬁnition 13.2.8 (엄격한 극대, strict local Maximum). lim

x→a

f(x) = f(a) ∧ ∃h > 0, ∀x ∈ (a −

h, a + h) − {a}, f(a) > f(x) 이면 f(x)는 x = a에서 엄격한 극대라 하며, f(a)를 엄격한 극댓값이라

한다.

Deﬁnition 13.2.9 (엄격한 극대2, strict local Maximum2). lim

x→a

f(x) = f(a) ∧∀h ∈ R −{0}, f(a +

h) < f (a) 이면 f (x)는 x = a에서 엄격한 극대라 하며, f(a)를 엄격한 극댓값이라 한다.

Deﬁnition 13.2.10 (극소, local minimum). 함수 f(x)가 x = a에서 연속이고 x = a의 좌우에서 f(x)

가 감소상태에서 증가상태로 바뀔 때, f(x)는 x = a에서 극소라 하며, f(a)를 극솟값이라 한다.

Deﬁnition 13.2.11 (극소, local minimum). lim

x→a

f(x) = f(a) ∧∃h > 0, ∀x ∈ (a−h, a + h), f (a) ≤

f(x) 이면 f(x)는 x = a에서 극소라 하며, f(a)를 극솟값이라 한다.

Deﬁnition 13.2.12 (엄격한 극소, strict local minimum). lim

x→a

f(x) = f (a) ∧ ∃h > 0, ∀x ∈ (a −

h, a + h) − {a}, f(a) < f(x) 이면 f(x)는 x = a에서 엄격한 극소라 하며, f(a)를 엄격한 극솟값이라

한다.

Deﬁnition 13.2.13 (엄격한 극대2, strict local Maximum2). lim

x→a

f(x) = f(a)∧∀h ∈ R−{0}, f(a+

h) < f (a) 이면 f (x)는 x = a에서 엄격한 극대라 하며, f(a)를 엄격한 극댓값이라 한다.

Theorem 13.2.12 (극값과 미분계수). 함수 f(x)가 x = a에서 극값을 가지고 a를 포함하는 어떤 열림

구간에서 미분가능하면 f

(a) = 0이다.

Note. 일반적으로 위의 역은 성립하지 않는다.

Theorem 13.2.13 (극대 관련). 미분가능한 함수 f (x)에서 f

(a) = 0이고, x = a의 좌우에서 f

(x)의

부호가 양에서 음으로 바뀌면 f(x)는 x = a에서 극대이고, 극댓값은 f(a)이다. (극댓값이라 하여 항상

(a) = 0이 되는 것은 아니다. 즉, 미분가능하지 않은 연속함수의 경우)

Theorem 13.2.14 (극소 관련). 미분가능한 함수 f (x)에서 f

(a) = 0이고, x = a의 좌우에서 f

(x)의

부호가 음에서 양으로 바뀌면 f(x)는 x = a에서 극소이고, 극솟값은 f(a)이다. (극솟값이라 하여 항상

(a) = 0이 되는 것은 아니다. 즉, 미분가능하지 않은 연속함수의 경우)

Theorem 13.2.15 (f(x)가 극값을 갖는 조건).

f(x)가 극값 갖는다. ∧f

(x)가 2차 함수 ⇒ f (x) = 0은 서로 다른 2개 이상의 실근을 갖는다.

Note (상수함수).

어떤 열린 구간에서 극댓값이면서 극솟값이면 해당 구간에서 상수함수이다.

Note (삼차함수 사차함수 대칭관계).

• 뉴런 현우진 삼차함수 대칭관계

• 뉴런 현우진 사차함수 대칭관계

13.3 여러 가지 미분법 76

• 사차함수 그래프의 대칭성과 1 :

√

2 법칙

13.2.4 방정식과 부등식, 속도와 가속도

13.3 여러 가지 미분법

아래 위키를 참고하기

• 삼각함수 - http://rigvedawiki.net/w/삼각함수

• 삼각함수 육각형 - 제타위키

• 삼각함수 육각형 - 합차를 곱으로, 곱을 합차로

Note (Reference Sites).

• 역함수 미분법

Theorem 13.3.1 (삼각함수의 도함수).

1. y = sin x ⇒ y

= cos x

2. y = cos x ⇒ y

= −sin x

3. y = tan x ⇒ y

= sec

4. y = csc x ⇒ y

= −csc x cot x

5. y = sec x ⇒ y

= sec x tan x

6. y = cot x ⇒ y

= −csc

Note. 삼각함수 6각형을 보고 마음속으로 관련있는 공식들을 상기하여 보자.

생각할 수 있는 것들은 일단 아래와 같은 것들이 있다.

• 삼각함수의 역수 관계

• 삼각함수의 제곱합 관계

• 삼각함수의 곱셈 관계

• 삼각함수의 미분 관계

• 쌍곡선함수(Hyperbolic function)의 미분 관계

13.4 도함수의 활용 77

로그함수의 미분법

Theorem 13.3.2 (로그함수의 미분법).

y = f (x) ⇒

(x)

f(x)

Proof.

⇒ |y| = |f(x)|

⇒ ln|y| = ln|f(x)|

⇒

(x)

f(x)

양변을 x에 대하여 미분한다.



13.4 도함수의 활용

13.4.1 접선의 방정식

Deﬁnition 13.4.1 (접선). 곡선 위의 점 P에 대하여 곡선 위를 움직이는 점 Q가 P에 한없이 다가갈 때

직선 PQ가 하나의 직선으로 수렴한다면 그 극한 위치의 직선을 P에서의 접선이라 한다.

13.4.2 함수의 그래프

Deﬁnition 13.4.2 (concave up funcion). 함수 f(x)위에 서로 다른 두 점을 잡았을 때, 두 점 사이의

독립변수에 대한 함수값이 두 점을 이은 선분보다 아래쪽의 값인 함수 즉,

∀x

6= x

, f(

+ x

) <

f(x

) + f(x

)

Deﬁnition 13.4.3 (concave down function). 함수 f(x)위에 서로 다른 두 점을 잡았을 때, 두 점 사이의

독립변수에 대한 함수값이 두 점을 이은 선분보다 위쪽의 값인 함수 즉,

∀x

6= x

, f(

+ x

) >

f(x

) + f(x

)

Deﬁnition 13.4.4 (concave up). Let f(x) be a diﬀerentiable function on an interval I.

We will say that the graph of f(x) is concave up on I ⇐⇒ f

(x) is increasing on I ⇐⇒

(x)는 상수함수가 아니고 ∧f

(x) ≥ 0.

Deﬁnition 13.4.5 (concave down). Let f (x) be a diﬀerentiable function on an interval I.

We will say that the graph of f(x) is concave down on I ⇐⇒ f

(x) is decreasing on I ⇐⇒

(x)는 상수함수가 아니고 ∧f

(x) ≤ 0.

Theorem 13.4.1 (함수 모양 판정 요약).

1. f

(x) > 0 ⇒ f(x)는 증가함수

2. f(x)는 상수함수가 아니고 ∧ f

(x) ≥ 0 ⇐⇒ f(x)는 증가함수

13.4 도함수의 활용 78

3. f(x)는 증가함수 ⇒ f

(x) ≥ 0

4. f

(x) > 0 ⇒ f(x)는 위로 오목

5. f

(x)는 상수함수가 아니고 ∧ f

(x) ≥ 0 ⇐⇒ (f

(x)는 증가함수) ⇐⇒ f(x)는 위로 오목

6. f(x)는 이 구간에서 위로 오목 ⇒ f

(x) ≥ 0

Deﬁnition 13.4.6 (변곡점). 곡선 y = f(x) 위의 점 P (a, f(a))에 대하여 x = a의 좌우에서 곡선의

모양이 아래로 오목에서 위로 오목으로 바뀌거나 위로 오목에서 아래로 오목으로 바뀔 때 이 점 P 를 곡선

y = f (x)의 변곡점이라 한다.

따라서 변곡점 P (a, f(a))의 좌우에서 f

(x)의 부호가 바뀌므로 f

(a)가 존재하면 f

(a) = 0이다.

Theorem 13.4.2 (변곡점의 판정).

함수 y = f(x)에 대하여 f

(a) = 0이고, x = a의 좌우에서 f

(x)의 부호가 바뀌면 점 (a, f(a))는 곡선

y = f(x)의 변곡점이다. (변곡점이라 하여 항상 f

(a) = 0이 되는 것은 아니다. 즉, 미분가능하지 않은

연속함수의 경우)

Note (변곡점과 이계도함수).

If a function has a second derivative, the value of the second derivative is either 0 or undeﬁned at each

of that function’s inﬂection points.

14 적분

14.1 부정적분

Deﬁnition 14.1.1 (부정적분). 미분하여 f(x)가 되는 함수를 f(x)의 부정적분 또는 원시함수라고 한다.

이 함수를 기호로

f(x)dx

로 나타낸다. 즉,

f(x)dx = f (x)

이다. 함수 f(x)의 부정적분은 하나로 정해지지 않는다. 이 때, f(x)의 알려진 부정적분중의 하나가 F (x)

라면, f(x)의 임의의 부정적분은 F (x) + C의 꼴로 나타내어지며,

f(x)dx = F (x) + C (where C is a constant)

이다. 여기에서

를 integral symbol, C를 적분상수(the constant of integration), 함수 f (x)를

피적분함수(the integrand), x를 적분변수(the integration variable)라 하고, f (x)의 부정적분을

구하는 것을 f(x)를 적분한다라고 한다.

Theorem 14.1.1 (부정적분 표현).

(F (x))

= f(x) ⇒

f(x) = F (x) + C

Proof.

(

f(x)dx − F (x))

= f(x) − f(x) = 0

⇒

f(x)dx − F (x) = C

⇒

f(x)dx = F (x) + C



Theorem 14.1.2 (함수의 실수배, 합, 차의 부정적분).

두 함수 f(x), g(x)가 부정적분을 가질 때

kf(x)dx = k

f(x)dx (단, k는 0이 아닌 상수)

{f(x) ± g(x)}dx =

f(x)dx ±

g(x)dx

14.2 정적분 80

14.1.1 Reference Sites

• 삼각함수적분-COS편

14.2 정적분

Deﬁnition 14.2.1 (정적분).

f(x)dx = lim

n→∞

k=1

f(x

)∆

(where ∆x =

b − a

, x

= a + ∆x · k)

Theorem 14.2.1 (급수와 정적분의 관계).

lim

n→∞

k=1

f(a +

) ·

= q

f(a + px)dx =

f(a + x)dx

Proof. You can use Deﬁnition of deﬁnite integral 과 평행이동 or

= x and

= dx. 이 때 위 끝은 k

대신에 n을 대입하고 ∞ 하면 p 이고 아래 끝은 k 대신에 1을 대입하고 ∞ 하면 0 이 된다. 

Proof. 다른 관점으로 생각해 본다면,

= x

and

= ∆x 라고 생각해도 되겠다. 그리고 정적분의

정의를 잘 생각해 본다. 

Note (급수와 정적분의 관계).

f(x)dx =

b−a

f(x + a)dx

= (b − a)

f((b − a)x + a)dx

Theorem 14.2.2 (부분 적분법).

f(x)g

(x)dx = f (x)g(x) −

(x)g(x)dx

Proof. 어쩌구 저쩌구 

Note (tabular integration). tabular integration 이라는 방법을 쓰면 좀 쉽게 할 수 있다.

youtube 자료로는 https://youtu.be/E8N1E5ZAiIU 찾아볼 수 있다.

Example 14.2.1 (부분 적분법).

미분가능한 두 함수 f(x), g(x)가 구간 [a, b]에서 f

(x) =

g(x)를 만족할 때, 다음 중 정적분

f(x)g(x)dx

와 같은 것은?

Solution.

2[{f(b)}

− {f(a)}

]

14.3 정적분의 활용 81

Note (삼차함수 넓이 적분).

• 다항함수 넓이 공식

• 삼차함수의 넓이

•

a(x − α)(x − β)(x − γ)dx =

(β − α)

(γ −

α + β

)

14.3 정적분의 활용

속도와 거리

Note (위치 · 속도 · 가속도의 관계).

위치를 미분하면 속도, 속도를 미분하면 가속도를 구할 수 있고, 미분과 적분은 서로 역연 산의 관계이므로

다음이 성립한다.

Figure 14.1: 위치속도가속도 관계

Theorem 14.3.1 (속도와 거리).

수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 t에서의 위치를 l = l(t)라 하면, 그 때의 속도는 v(t) =

= l

(t)

이다.

1. 점 P 의 위치 (시각 t)

l(t) = l(t

)(= l

) +

v(x)dx

2. 점 P 의 위치의 변화량 (t = a → t = b)

l(b) − l(a) =

v(t)dt

3. 점 P 의 실제로 움직인 거리 (t = a → t = b)

s =

|v(t)|dt

15 순열과 조합

15.1 경우의 수

Note (Hakchin-경우의 수 도출 방법). 김학진은 가능한 한 함수로 생각해서 경우의 수를 계산하려 한다.

Deﬁnition 15.1.1 (사건). 어떤 실험이나 관찰에 의해 일어나는 결과

Deﬁnition 15.1.2 (경우의 수). 어떤 사건이 일어날 수 있는 모든 경우의 가짓수

Theorem 15.1.1 (합의 법칙). 두 사건 A, B가 동시에 일어나지 않을 때, 사건 A가 일어나는 경우가 m

가지, 사건 B가 일어나는 경우가 n가지이면 사건 A 또는 사건 B가 일어나는 경우의 수는 m+n

Theorem 15.1.2 (곱의 법칙). 두사건 A, B에 대하여 사건 A가 일어나는 경우가 m가지이고, 그 각각에

대하여 사건 B가 일어나는 경우가 n가지이면 두사건 A, B가 동시에 일어나는 경우의 수는 mn

15.1.1 합의 법칙

• A ∩ B = φ 일 때, n(A ∪ B) = n(A) + n(B)

• A ∩ B 6= φ 일 때, n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)

15.1.2 곱의 법칙

• n(A × B) = n(A) × n(B)

15.2 순열

15.2.1 비중복순열

Deﬁnition 15.2.1 (비중복순열의 수와

). 아래와 같다.

은 비중복 순열이며, n개에서 r개를 일렬로 늘어놓는 경우의 수

Deﬁnition 15.2.2 (

의 변형식과 기호의 정의). 아래와 같다.

•

= n!/(n − r)!

•

= n!

• 0! = 1

•

= 1

15.3 여러가지 순열 83

15.2.2 중복순열

Deﬁnition 15.2.3 (중복순열). 서로 다른 n개의 원소에서 중복을 허락하여 r개의 원소를 선택하여 일

렬로 배열하는 경우의 수를 n개에서 r개 택한 중복순열

이라 하고 이를 기호로

로 나타낸다.

Theorem 15.2.1 (중복순열 Theorem).

= n

Proof. 어쩌구 저쩌구... 

15.3 여러가지 순열

15.3.1 원순열

15.3.2 같은 것이 있는 순열

15.3.3 완전순열=교란순열

자기가 자기 자신을 선택하지 못하는 순열

• 꼼수수학-완전순열

• 교란순열 (derangement)

• subfactorial

15.4 조합

Note. 순열은 순서가 있고, 조합은 순서가 없다.

15.4.1 비중복조합의 수

Deﬁnition 15.4.1 (비중복조합). 서로 다른 n개의 원에서 순서를 고려하지 않고 r개를 택할 때 이 r

개로 이루어진 각각의 집합을 n개에서 r개를 택한 조합(Combination) 이라 하고 이 조합의 수를

로

나타낸다. 또는





로 나타낸다.

15.4.2 공식과 기호의 정의

(n − k)!k!

n−k

(n ≥ k)

= 1

Theorem 15.4.1 (비중복조합 Theorem1).

n−1

k−1

n−1

k−1

repeated permutation

15.4 조합 84

3. k ·

= n ·

n−1

k−1

n − k + 1

k−1

n − k

n−1

k−1

n − k + 1

n−1

n − k

= n ·

n−1

k−1

= (n − k + 1) ·

k−1

10.

= k ·

n−1

k−1

n−1

(where 1 ≤ k < n)

Deﬁnition 15.4.2 (분할과분배). 여러 개의 물건을 몇 개의 묶음으로 나누는 것을 분할이라 하고, 그

묶음을 나누어 주는 것을 분배라 한다.

15.4.3 중복조합

Deﬁnition 15.4.3 (중복조합). 서로 다른 n 개의 원소에서 중복을 허락하여 r개의 원소를 선택하는

경우의 수를 중복조합

이라고 하고 이를 기호로

로 나타낸다.

Theorem 15.4.2 (중복조합 Theorem).

n−1+r

Proof. n개에서 중복을 허락하여 r개를 택한 조합의 수는 n − 1개의 막대기와 r개의 구슬을 일렬로 늘어

놓는 경우의 수와 같으므로

H(n, r) =

(n − 1 + r)!

(n − 1)!r!

(n − 1 + r)!

(n − 1 + r − r)!r!

= C(n −1 + r, r)



Note (함수의 개수).

함수 Π(n, m)

단사

전사 S(m, n) ·

전단사

증가

단조증가

Question 15.4.1. 집합 X = {1, 2, 3, 4}에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 f : X → X의 개수는?

• 함수 f는 일대일 대응이다.

• 집합 X의 임의의 원소 x에 대하여 f(x) 6= x 이다.

Solution.

repeated combination

15.4 조합 85

1. n(Ω) =

= 4! = 24

2. E : ∀x ∈ X, f(x) 6= x

: ∃x ∈ X, f(x) = x

3. n(E

) =

· 2 +

· 1 +

· 0 +

· 1 = 8 + 6 + 0 + 1 = 15

4. n(E) = 24 − 15 = 9



Example 15.4.1 (중복순열 및 중복조합).

• 중복순열

– 1, 2, 3, 4 에서 중복을 허락하여 만들 수 있는 3자리의 정수 : Π(4, 3)

서로 다른 4개의 숫자가 3번 선택당하는데 구분이 있다.

– 1, 2, 3, 4 에서 3명의 사람이 좋아하는 숫자를 기명 투표 : Π(4, 3)

서로 다른 4개의 숫자가 3번 선택당하는데 구분이 있다.

– 1, 2, 3, 4 라는 상자에서 서로 다른 3개의 공을 넣는 방법의 수: Π(4, 3)

서로 다른 4개의 상자가 3번 선택당하는데 구분이 있다.

• 중복조합

– 1, 2, 3, 4 에서 중복을 허락하여 3개의 숫자 선택 :

서로 다른 4개의 숫자가 3번 선택당하는데 구분이 없다.

– 1, 2, 3, 4 에서 3명의 사람이 좋아하는 숫자를 무기명 투표 :

서로 다른 4개의 숫자가 3번 선택당하는데 구분이 없다.

– 1, 2, 3, 4 라는 상자에서 동일한 3개의 공을 넣는 방법의 수:

서로 다른 4개의 상자가 3번 선택당하는데 구분이 없다.

• link-[개념세트]중복 조합과 중복 순열

• link-수악중독-여기에 golang 응용도 있다.

Example 15.4.2 (경우의 수).

15.5 이항정리 86

Figure 15.1: 순열조합등 정리 with 어쩌구

15.5 이항정리

Theorem 15.5.1 (이항정리). 아래와 같다. n 이 양의 정수일 때 (a + b)

을 전개하면 다음과 같다.

(a + b)

n−1

n−2

+ ... +

n−k

+ ... +

⇐⇒ (a + b)

k=0

C(n, k)a

n−k

k=0

C(n, k)a

n−k

Theorem 15.5.2 (이항계수의 성질). 이항정리를 이용하여 (1 + x)

의 전개식

(x + 1)

+ ··· +

에서 다음과 같은 이항계수의 성질을 얻을 수 있다.

1. 연속합 : 2

+ ··· +

2. 교대합 : 0 =

−

+ ··· + (−1)

15.6 분할 87

3. 짝수합 : 2

n−1

+ ··· +

: 홀수합

4. 절반합 : 2

2n+1

+ ··· +

2n+1

n+1

2n+1

n+2

+ ··· +

2n+1

5. n · 2

n−1

= C(n, 1) + 2 · C(n, 2) + 3 · C(n, 3) + ··· + n · C(n, n)

Proof. 5번째 것에 대한 증명이다.

• (x + 1)

+ ··· +

의 양변을 미분하여 증명

• 또는 C(n, k) =

C(n − 1, k − 1) = C(n, k) =

n(n − 1)

k(k − 1)

C(n − 2, k − 2) 이므로 k · C(n, k) =

n · C(n − 1, k − 1)을 이용하여 증명

• 즉,

k=0

k·

k=1

k·

k=1

n·

n−1

k−1

= n(

n−1

+···+

n−1

) = n·2

n−1



15.6 분할

15.6.1 자연수의 분할

• 자연수의 분할, 집합의 분할 그림으로 공부해볼래

• Ferrers diagram을 이용하면 자연수의 분할에 대한 성질을 쉽게 도출할 수 있다.

Deﬁnition 15.6.1 (자연수의 분할). 자연수 n을 자신보다 크지 않은 자연수

n = n

+ n

+ ··· + n

(n ≥ n

≥ n

≥ ··· ≥ n

≥ 1)

와 같이 n

, n

, ··· , n

의 합으로 나타내는 것을 자연수의 분할이라고 한다.

Deﬁnition 15.6.2 (자연수의 분할의 경우의 수). 자연수 n을 k(1 ≤ k ≤ n)개의 자연수로 분할하는

경우의 수를 기호로 P (n, k) 와 같이 나타낸다.

Theorem 15.6.1 (자연수의 분할의 수 1).

• 1 < k < n ⇒ P (n, k) = P (n − k, 1) + P (n − k, 2) + ··· + P (n −k, k)

• 1 < k < n ⇒ P (n, k) = P (n − 1, k − 1) + P (n − k, k)

• P (n, k) = 0 (k > n)

Theorem 15.6.2 (자연수의 분할의 수 2).

• P (n, 1) = 1

• P (n, 2) = [

]

• ···

• P (n, n) = 1

• P (n, n − 1) = 1 (n ≥ 2)

• P (n, n − 2) = 2 (n ≥ 4)

• P (n, n − 3) = 3 (n ≥ 6)

15.6 분할 88

• P (n, n − 4) = 5 (n ≥ 8)

Deﬁnition 15.6.3 (Q(n, k)).

학진의 표기법이고 Q(n, k)은 P (n, k)와 같으며 단 n을 서로 다른 양의 정수로 분할하는 경우의 수

Deﬁnition 15.6.4 (R(n, k)).

학진의 표기법이고 R(n, k)는 n을 k 이하의 자연수로 분할하는 경우의 수

Deﬁnition 15.6.5 (켤레분할).

n을 k개 이하의 자연수로 분할하는 경우의 수 = n을 k 이하의 자연수로 분할하는 경우의 수

15.6.2 집합의 분할

Deﬁnition 15.6.6 (집합의 분할). 원소의 개수가 n인 집합을 공집합이 아니면서 서로소인 k(1 ≤ k ≤ n)

개의 부분집합으로 나누는 것을 집합의 분할이라 한다. 즉, 유한집합 A를 공집합이 아닌 k개의 부분집합

, A

, ··· , A

으로 분할하면

∩ A

= ∅ (i, j = 1, 2, ··· , k ∧ i 6= j) (15.1)

∪ A

∪ ··· ∪ A

= A (15.2)

를 만족한다.

Deﬁnition 15.6.7 (집합의 분할의 수). 원소가 n개인 집합을 k(1 ≤ k ≤ n)개의 부분집합으로 분할하는

방법의 수를 기호로 S(n, k)와 같이 나타낸다.

Note.

• S(n, k)의 S는 스코틀랜드의 수학자 스털링(Stirling, J.: 1692 - 1770)의 이름 첫 글자이다.

Theorem 15.6.3 (집합의 분할의 수).

• p, q, r가 모두 다른 수일 때, C(n, p) · C(n − p, q) · C(r, r)

• p, q, r중 어느 두 수가 같을 때, C(n, p) ·C(n − p, q) · C(r, r) ·

• p, q, r의 세 수가 모두 같을 때, C(n, p) ·C(n − p, q) · C(r, r) ·

Theorem 15.6.4 ( S(n, k)의 성질 ).

1 < k < n ⇒ S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + S(n − 1, k) · k

Proof. 원소의 개수가 n인 집합 {1, 2, 3, ··· , n}을 k개의 부분집합으로 분할하는 방법을 이용하여 위의

성질을 확인해 보자.

• 원소 n이 하나의 부분집합을 이루는 경우 (또는 임의의 한 원소가 단독으로 하나의 부분집합을 이

루는 경우라 생각해도 된다.)

n을 제외한 나머지 원소들로 구성된 부분집합 {1, 2, 3, ··· , n − 1}을 k − 1개로 분할하면 집합 {n}

을 포함하여 전체집합은 k개로 분할이 된다. 이 경우 k개로 분할하는 경우의 수는

S(n − 1, k − 1)

15.6 분할 89

• 원소 n이 다른 원소와 함께 1개의 부분집합을 이루는 경우

부분집합 {1, 2, 3, ··· , n − 1}을 k개의 집합으로 분할한 다음, k개의 부분집합중 하나를 택해 원소

n을 포함시키면 전체집합은 k개로 분할된다. 이 경우 k개로 분할하는 경우의 수는

S(n − 1, k) ·k

여기서 k는 n을 포함시킬 부분집합을 고르는 경우의 수이기도 하다.

위로 부터 다음이 성립한다.

S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + S(n − 1, k) · k



Corollary 15.6.4.1 ( S(n, k)의 성질 ).

S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + S(n −1, k) ·k = S(n − 1, k −1) ·k

+ S(n −1 − 1, k − 1) ·k

+ S(n −1 −

2, k − 1) · k

+ ··· + S(n − 1 − (n − k), k − 1) ·k

n−k

Theorem 15.6.5 ( S(n, k)의 성질 ).

1. S(n, 1) = 1

2. S(n, 2) =

− 2

= 2

n−1

− 1

3. S(n, n − 1) =

4. S(n, n) = 1

5. S(n, k) = S(n − 1, k − 1) + S(n − 1, k) · k

Proof. 분할할 전체집합을 U = {1, 2, ··· , n} 라고하자.

1. 1개의 부분으로 분할하는 방법은 {1, 2, ··· , n}의 한 가지이다.

2. 벤다이어그램을 결정하는 경우의 수를 구한다.

Figure 15.2: 집합의 분할 증명

15.6 분할 90

또는 다음과 같이 증명해 볼 수 있겠다.

S(17, 2) 은 원소가 17인 집합을 공집합이 아닌 2개의 서로소인 부분집합으로 분할하는 경우의 수

이므로

S(17, 2) = C(17, 16) · C(1, 1) + C(17, 15) · C(2, 2) + C(17, 14) · C(3, 3) + ··· + C(17, 9) · C(8, 8)

= C(17, 1) + C(17, 2) + C(17, 3) + ··· + C(17, 8)

= (C(17, 0) + C(17, 1) + C(17, 2) + C(17, 3) + ··· + C(17, 8)) − C(17, 0)

= 2

− 1

3. 집합 A = {a

, a

, ··· , a

}에서 {a

, a

}∪{a

}∪···∪{a

}, {a

, a

}∪{a

}∪···∪{a

}, ···의 경우를

말한다. 즉, n개의 원소 중에서 2개를 택하여 하나의 부분집합을 만들고, 나머지 (n-2)개의 원소를

모두 자동으로 원소의 개수가 1개인 부분집합으로 만들면 된다. 따라서 n개의 원소 중에서 2개를

택하는 방법의 수와 같으므로 S(n, n − 1) =

이다.

4. n개의 부분으로 분할하는 방법은 {1} ∪ {2} ∪ {3} ∪ ··· ∪{n}의 한 가지이다.

5. 원소 n이 혼자서 1개의 부분집합을 이루는 경우 와 원소 n이 다른 원소와 함께 1개의 부분집합을

이루는 경우 로 나누어 생각하며 증명한다.



Note (순열조합 및 분할 구분).

전사함수: 다른 종류의 사탕 5개를 서로 다른 봉지 3개에 빈 봉지가 없도록 나누어 담는 경우

• S(5, 3) · 3! = 25 · 6 = 150

중복순열: 다른 종류의 사탕 5개를 서로 다른 봉지 3개에 나누어 담는 경우

•

= 3

= 243

중복조합: 같은 종류의 사탕 5개를 서로 다른 봉지 3개에 빈 봉지가 없도록 나누어 담는 경우

•

= 6

중복조합: 같은 종류의 사탕 5개를 서로 다른 봉지 3개에 나누어 담는 경우

•

= 21

자연수분할: 같은 종류의 사탕 5개를 같은 모양의 봉지 3개에 빈 봉지가 없도록 나누어 담는 경우

• P (5, 3) = 2

자연수분할: 같은 종류의 사탕 5개를 같은 모양의 봉지 3개에 나누어 담는 경우

• P (5, 1) + P (5, 2) + P (5, 3) = 1 + 2 + 2 = 5

집합분할: 다른 종류의 사탕 5개를 같은 모양의 봉지 3개에 빈 봉지가 없도록 나누어 담는 경우

• S(5, 3) = S(4, 2) + S(4, 3) · 3 = 7 + 6 · 3 = 7 + 18 = 25

집합분할: 다른 종류의 사탕 5개를 같은 모양의 봉지 3개에 나누어 담는 경우

• S(5, 1) + S(5, 2) + S(5, 3) = 1 + 15 + 25 = 41

16 확률

16.1 확률의 뜻과 활용

16.1.1 시행과 사건

16.1.2 확률의 뜻과 기본 성질

16.1.3 확률의 덧셈정리

16.2 조건부확률

16.2.1 조건부확률

Deﬁnition 16.2.1 (조건부확률 - the conditional probability of A given B).

사건 B가 일어났다는 가정하에 사건 A가 일어날 확률을 사건 B가 일어났을 때의 사건 A의 조건부확률이라

한다. 이것을 기호로 P (A|B)와 같이 나타낸다. 즉, 다음과 같은 식으로 표현된다.

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

where P (B) > 0

Deﬁnition 16.2.2 (조건부확률 - the conditional probability of A given B).

사건 A의 조건 B일 때의 확률은 기호로 P (A|B)와 같이 나타낸다. 즉, 다음과 같은 식으로 표현된다.

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

where P (B) > 0

16.2.2 사건의 독립과 종속

Deﬁnition 16.2.3 (사건의 독립과 종속).

사건 A와 B는 서로 독립 ⇐⇒ P (A|B) = P (A)

사건 A와 B는 서로 종속 ⇐⇒ P (A|B) 6= P (A)

Theorem 16.2.1 (사건의 독립과 종속).

사건 A와 B는 서로 독립 ⇐⇒ P (A ∩B) = P (A)P (B)(if P (A) > 0, P (B) > 0)

Theorem 16.2.2 (Bayes’ Theorem). 구분된 사건들이 확률이 제시된 경우와 relative weight (경우의

수등)으로 제시된 경우에 따라 표를 적절히 작성하여 문제들을 풀어나가자.

16.2 조건부확률 92

Table 16.1: Visualization of Bayes’ Theorem

B B

A P (B) · P (A|B) P (B

) · P (A|B

)

P (B) · P (A

|B) P (B

) · P (A

)

16.2.3 독립시행의 확률

Deﬁnition 16.2.4 (독립시행). 동전이나 주사위를 여러 번 던지는 경우와 같이 어떤 시행을 반복할 때,

각 시행의 결과가 다른 시행의 결과에 아무런 영향을 주지 않을 경우, 즉 매회 일어나는 사건이 서로

독립인 경우에 이 시행을 독립시행이라 한다.

Theorem 16.2.3 (독립시행의 확률). 1회의 시행에서 사건 E가 일어날 확률을 p라고 할 때, n회의

독립시행에서 사건 E 가 r회 일어날 확률 P

은

(1 − p)

n−r

(r = 0, 1, 2, ..., n)

17 통계

Note (Reference Sites).

• discrete random variable - 정의 부분 정리

• 표본평균과 표본분산

17.1 기초용어

Deﬁnition 17.1.1 (변량). 키, 몸무게, 성적 등과 같이 자료를 수량으로 나타낸 것

Deﬁnition 17.1.2 (계급). 변량을 일정한 간격으로 나눈 구간

Deﬁnition 17.1.3 (계급의 크기). 계급의 양 끝값의 차, 즉 구간의 너비

Deﬁnition 17.1.4 (계급의 개수). 변량을 나눈 구간의 개수

Deﬁnition 17.1.5 (계급값). 계급을 대표하는 값으로 그 계급의 가운데 값

Example 17.1.1 (계급값). a 이상 b 미만인 계급의 계급값 :

a + b

= (계급의 양 끝값의 합)/2

Deﬁnition 17.1.6 (도수). 각 계급에 속하는 변량의 수

Deﬁnition 17.1.7 (도수분포표). 자료 전체를 몇 개의 계급으로 나누고, 각 계급에 속하는 도수를 조사

하여 나타낸 표

Deﬁnition 17.1.8 (대푯값). 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값

Example 17.1.2 (대푯값). 평균, 중앙값, 최빈값, ...

Deﬁnition 17.1.9 (평균). 평균 = (변량의 총합)/(변량의 개수)

Note (평균). 도수분포표에서의 평균은 평균 = (계급값)*(도수)의 총합/(도수)의 총합

Deﬁnition 17.1.10 (중앙값). 각 변량을 크기순으로 나열할 때 중앙에 오는 값

Example 17.1.3 (중앙값 구하기). 자료를 작은 값부터 차례로 나열하였을 때

1. 자료의 개수 N이 홀수이면 중앙값은 (N+1)/2 번째 값

2. 자료의 개수 N이 짝수이면 중앙값은 N/2 번째와 (N/2 +1) 번째 값의 평균

Note (중앙값 구하기). 도수분포표에서의 중앙값은 한가운데 놓이는 변량이 속하는 계급의 계급값이다.

Deﬁnition 17.1.11 (최빈값). 자료의 값 중에서 가장 많이 나타나는 값

Note (최빈값). 가장 많이 나타나는 값이 복수 개일 경우 최빈값은 복수 개 또는 최빈값은 없다라고 한다.

17.2 확률변수와 확률분포 94

17.2 확률변수와 확률분포

17.2.1 확률변수

Deﬁnition 17.2.1 (확률변수-고등학교). 어떤 시행의 결과에 따라 표본공간의 각 원소에 하나의 실수

값을 대응시키고, 그 값에 확률이 각각 주어지는 변수를 확률변수라고 한다. 확률변수는 보통 알파벳 대

문자 X, Y, Z, ··· 로 나타내고, 확률변수가 가지는 값은 소문자 x, y, z, ··· 로 나타낸다. 또한 확률변수 X

가 어떤 값 x를 가질 확률을 기호로 P (X = x)와 같이 나타낸다.

Note (확률변수). 확률변수는 표본공간을 정의역으로 하고 실수 전체의 집합을 공역으로 하는 함수이나

변수의 역할을 하므로 확률변수라고 한다.

Note (확률관련).

• probability space = (Ω, F, P )

• P (X = x) = P ({ω ∈ Ω|X(ω) = x}) where X : Ω → E(measurable space) and P : F →

[0, 1] and F is a set of events

• P (X ∈ S) = P ({ω ∈ Ω|X(ω) ∈ S}) where P is the probability measure on (Ω, F) and S ⊆ E

Note (내생각에).

• F = P(Ω)

Note (야매지만).

• P (X = x) =

n(X = x)

n(Ω)

n({ω ∈ Ω|X(ω) = x})

n(Ω)

17.2.2 이산확률분포

Deﬁnition 17.2.2 (이산확률변수-고등학교). 확률변수 X가 가지는 값이 유한개이거나 무한히 많더라도

자연수와 같이 셀 수 있을 때, X를 이산확률변수라고 한다.

Example 17.2.1 (이산확률변수). 한 개의 주사위를 세 번 던지는 시행에서 1의 눈의 수가 나오는 횟수를

확률변수 X라 하면 X가 가질 수 있는 값은 0, 1, 2, 3이므로 확률변수 X는 이산확률변수이다.

Deﬁnition 17.2.3 (이산확률변수). A random variable X : Ω → E is a measurable function from a

set of possible outcomes Ω to a measurable space E. The technical axiomatic deﬁnition requires Ω to

be a probability space (see Measure-theoretic deﬁnition). Usually X is real-valued (i.e. E = R).

Deﬁnition 17.2.4 (이산확률변수).

X : Ω → E(measurable space) ⇐⇒ Img(X) is countable(= finite ∨ denumerable).

If the image is not countable then X is called a continuous random variable.

Deﬁnition 17.2.5 (probability mass function). 이산확률변수 X 가 가질 수 있는 값 x

, x

, . . . , x

과, X 가 이 각 값을 가질 확률 p

, p

, . . . , p

의 대응 관계를 X 의 확률분포라 하고 그 관계식 f

) =

P (X = x

) = p

(i = 1, 2, . . . , n) 를 이산확률변수 X 의 확률질량함수라 한다.

Note (이산확률변수 X의 확률분포). 이산확률변수 X의 확률분포는 다음과 같이 표 또는 그래프 등으로

나타낼 수도 있다.

17.2 확률변수와 확률분포 95

Figure 17.1: 이산확률분포

Theorem 17.2.1 (확률질량함수의 성질). 이산확률변수 X의 확률질량함수가 P (X = x

) = p

(i =

1, 2, 3, y, n) 일 때, 확률의 기본 성질에 의해 다음이 성립한다.

• 0 ≤ f

(x) ≤ 1

•

x∈Img(X)

(x) = 1

• P (x

≤ X ≤ x

) =

k=i

(where i ≤ j ∧i, j = 1, 2, ··· , n)

Theorem 17.2.2 (이산확률변수의 평균).

E(X) = x

+ x

+ ··· + x

i=1

Deﬁnition 17.2.6 (이산확률변수의 분산과 표준편차).

V (X) = E((X − m)

) =

i=i

− m)

Theorem 17.2.3 (이산확률변수의 분산).

V (X) = E(X

) − {E(X)}

Proof.

V (X) = E((X − m)

) =

i=i

− m)

i=i

− 2mx

+ m

)

i=i

− 2m

i=i

+ m

i=i

= E(X

) − {E(X)}



Theorem 17.2.4 (이산확률변수 aX + b의 평균, 분산, 표준편차).

• E(aX + b) = aE(X) + b

• V (aX + b) = a

V (X)

• σ(aX + b) = |a|σ(X)

17.2 확률변수와 확률분포 96

이항분포

Deﬁnition 17.2.7 (이항분포). 1번의 시행에서 어떤 사건 E 가 일어날 확률이 p일 때, n번의 독립시행

에서 사건 E가 일어 나는 횟수를 X 라 하면 확률변수 X 의 확률질량함수는

(k) = P (X = k) =

n−k

(k = 0, 1, 2, . . . , n, q = 1 − p)

이다. 이와 같은 확률분포를 이항분포라 하며, 기호로 B(n, p)와 같이 나타낸다.

Note (이항분포의 정의를 분해해 본다면).

Independent Bernoulli Trial (or Binomial Trial)

1. X : 확률변수

2. A : 각 시행에서의 사건, 독립시행 (IBT), 복원추출

3. 사건 A의 성격

각 시행에서의 기대 사건

P (A) : 일정

매 시행시마다 일정, 즉 A는 독립시행 사건 (IBT Event)

4. 시행횟수 : n

5. X = occurrence of A (A가 일어나는 횟수)

⇒ f

(k) = P (X = k) =

n−k

(k = 0, 1, 2, . . . , n, q = 1 − p)

⇒ X ∼ B(n, p) (where p = P (A))

6. X 의 확률분포표는 다음과 같다.

X = x 0 1 2 ··· x ··· n 합계

P (X = x)

n−1

n−2

···

n−x

···

7. 위의 확률분포표에서의 각 확률은 (p + q)

을 이항정리에 의해 전개한 다음 식의 우변의 각 항과

같다.

(p + q)

n−1

n−2

+ ... +

n−x

+ ... +

⇐⇒ (p + q)

x=0

C(n, x)p

n−x

x=0

C(n, x)p

n−x

Theorem 17.2.5 (이항분포 Bn, p의 평균, 분산, 표준편차).

• E(X) = np

• V (X) = npq

• σ(X) =

√

npq

Proof. 어쩌구 저쩌구....

V (X) = E((X − m)

) =

i=i

− m)

17.2 확률변수와 확률분포 97

i=i

− 2mx

+ m

)

i=i

− 2m

i=i

+ m

i=i

= E(X

) − {E(X)}



이항분포의 그래프의 성질과 큰 수의 법칙

Theorem 17.2.6 (LLN:Law of Large Numbers). 1회의 시행에서 어떤 사건 A가 일어날 수학적 확률이

p일 때, n회의 독립시행에서 사건 A가 일어나는 횟수를 X라 하자. 이때 아무리 작은 양수 h를 택하더라도

n을 크게 할수록 확률 P (|

− p| < h)는 1에 가까워진다. 이를 큰 수의 법칙이라 한다.

Note (LLN). 큰 수의 법칙은 시행 횟수 n을 크게 할수록 상대도수, 즉 통계적 확률

가 수학적 확률

p에 점점 가까워짐을 의미한다. 따라서 자연 현상이나 사회 현상과 같이 수학적 확률을 구하기 어려운

경우에는 큰 수의 법칙 에 의해 통계적 확률을 구하여 이용할 수 있다.

17.2.3 연속확률분포

연속확률변수

Deﬁnition 17.2.8 (연속확률변수-고등학교). 확률변수 X가 어떤 범위에 속한 모든 실수 값을 가질 때,

X를 연속확률변수라 한다.

Example 17.2.2 (이산확률변수 및 연속확률변수).

• OX 퀴즈 3문제의 답을 각각 임의로 고를 때, 맞힌 문항 수를 확률변수 X라 하면 X는 0, 1, 2, 3의

유한개의 값을 취할 수 있으므로 이산확률변수이다.

• 길이가 5인 선분 AB 위의 한 점 C를 임의로 잡을 때, 선분 AC의 길이를 확률변수 X라 하면 X는

0 < X < 5에 속한 모든 실수 값을 취할 수 있으므로 연속확률변수이다.

Figure 17.2: 연속확률변수

Deﬁnition 17.2.9 (확률밀도함수-pdf). α ≤ X ≤ β에서 모든 실수 값을 가질 수 있는 연속확률변수 X

에 대하여 α ≤ X ≤ β에서 정의된 함수 f(x)가 다음 세 가지 성질을 만족시킬 때, 함수 f(x)를 확률변수 X

의 확률밀도함수라 한다.

• f

(x) ≥ 0

• y = f (x)의 그래프와 x 축 및 두 직선 x = α, x = β로 둘러싸인 도형의 넓이가 1이다.

f(x)dx = 1

17.2 확률변수와 확률분포 98

• P (a ≤ X ≤ b)는 y = f (x)의 그래프와 x축 및 두 직선 x = a, x = b로 둘러싸인 도형의 넓이와

같다. (단, α ≤ a ≤ b ≤ β)

P (a ≤ X ≤ b) =

f(x)dx

정규분포

Deﬁnition 17.2.10 (정규분포). 연속확률변수 X의 확률밀도함수 f(x)가 f(x) =

√

2πσ

−

·(

x − m

)

(where x ∈ R, m = constant, σ > 0, e = 2.71828 ···) 일 때, X의 확률분포를 정규분포라 하고, 기호로

N(m, σ

)으로 나타낸다. 이 때, 확률밀도함수 f(x)의 그래프를 정규분포곡선이라 한다. 또 확률변수 X

는 정규분포 N(m, σ

)을 따른다고 한다.

Theorem 17.2.7 (정규분포곡선의 성질).

1. f(x)의 그래프와 x축 사이의 넓이는 1이다.

2. x=m일 때 최댓값

√

2πσ

3. 직선 x=m에 대하여 대칭인 종 모양의 곡선이고, 점근선은 x축이다.

4. σ의 값이 일정할 때, m의 값이 변하면 대칭축의 위치는 바뀌지만 곡선의 모양과 크기는 같다.

Figure 17.3: σ의 값이 일정

5. m의 값이 일정할 때, σ 의 값이 커지면 곡선은 높이가 낮아지면서 양쪽으로 넓게 퍼진다.

Figure 17.4: m의 값이 일정

표준정규분포

Deﬁnition 17.2.11 (표준정규분포). N(0, 1)

Theorem 17.2.8 (표준정규분포의 pdf). 연속확률변수 Z가 표준정규분포를 따를 때, Z의 확률 밀도함

수는

17.3 통계적 추정 99

f(z) =

√

2π

−

·z

(where − ∞ < z < ∞)

Theorem 17.2.9 (정규분포의 표준화). 연속확률변수 X가 정규분포 N(m, σ

)을 따를 때,

• 확률변수 Z =

X − m

는 표준정규분포 N(0, 1)을 따른다.

• P (a ≤ X ≤ b) = P (

a − m

≤ Z ≤

b − m

)

Proof.

E(Z) = E(

X − m

) =

(E(X) − m) = 0

V (Z) = V (

X − m

) =

V (X) = 1



17.2.4 이항분포와 정규분포 관계

Deﬁnition 17.2.12 (ˆn  1).

• n을 이항분포에서의 시행횟수라 하자. n  1 ⇐⇒ np ≥ 5 ∧ nq ≥ 5

• ˆn을 그냥 표본의 크기라 하자. ˆn  1 ⇐⇒ ˆn ≥ 30

Theorem 17.2.10 (이항분포와 정규분포 사이의 관계).

X ∼ B(n, p) ∧ n  1 ⇒ X ≈∼ N (np, npq) (where q = 1 − p)

17.3 통계적 추정

17.3.1 모집단과 표본

Deﬁnition 17.3.1 (전수조사). 통계조사에서 조사 대상이 되는 전체를 조사하는 방법

Example 17.3.1. 인구조사

Deﬁnition 17.3.2 (표본조사). 조사 대상 중 일부만을 택하여 조사한 후 전체의 상태와 특징을 추측하는

방법

Example 17.3.2. 시청률 조사, 특정 제품의 수명 조사

Deﬁnition 17.3.3 (모집단). 표본조사에서 조사 대상 전체

Deﬁnition 17.3.4 (표본). 모집단에서 뽑은 자료 일부를 표본이라 하고, 추출한 표본의 개수를 표본의

크기라 한다.

Example 17.3.3. 어느 공장에서 생산되는 전구의 평균 수명시간을 알아보기 위해 이 공장에서 생산된

전구 중 1000개를 임의로 택하여 그 수명을 조사할 때

17.3 통계적 추정 100

• 모집단 : 공장에서 생산되는 전구 전체

• 표본 : 조사하기 위해 임의로 택한 1000개의 전구

• 표본의 크기 : 1000

Deﬁnition 17.3.5 (임의추출). 모집단의 각 대상이 동일 확률로 추출되도록 표본을 추출하는 방법

Note. 특별한 언급이 없으면 임의추출은 복원추출을 의미한다.

Note (복원추출과 비복원추출 1).

1. 복원추출: 한 번 추출된 자료를 되돌려 놓은 후 다시 추출하는 것

2. 비복원추출: 한 번 추출된 자료를 되돌려 놓지 않고 다시 추출하는 것

Note (복원추출과 비복원추출 2).

• 모집단에서 표본을 임의추출할 때 제비뽑기, 난수 주사위, 난수표 등이 사용되었으나 최근에는 컴

퓨터의 난수 프로그램 을 주로 이용한다.

• 모집단의 크기가 충분히 큰 경우에는 비복원추출도 복원추출로 볼 수 있다.

Note (복원추출과 비복원추출 - 경우의 수).

자료의 개수가 N인 모집단에서 크기가 n인 표본을 임의추출하는 경우의 수는

• 복원추출일 때:

= N

• 비복원추출일 때:

1개씩 추출 V

동시에 추출 V

Deﬁnition 17.3.6 (Random sampling). Random sampling is a part of the sampling technique in

which each sample has an equal probability of being chosen. A sample chosen randomly is meant to

be an unbiased representation of the total population.

Note (Hakchin Thought).

표본을 이루는 확률변수를 따로

, ··· ,

, ···으로 표기한다.

Note (Hakchin Thought). 즉, 임의 추출이란 다음을 만족하도록 표본을 추출하는 것이다. (모집단크기 :

n, 표본의 크기 : ˆn)

) =

k=1

( ˆx

)

· P ((

) = ( ˆx

)

) = E(X) = m

where

X =

ˆn

(

+ ··· +

ˆn

) =

ˆn

i=1

and m is a mean of a population

Deﬁnition 17.3.7 (임의표본 - Random sample 또는 Unbiased sample). 임의추출된 표본을 임의표본

이라고 한다.

Deﬁnition 17.3.8 (편의표본 - Biased sample). 몇 개의 관측치가 다른 것보다 더 많은 기회로 포함될

수 있는 상태에서 얻어진 표본.

Deﬁnition 17.3.9 (추출의 종류).

17.3 통계적 추정 101

• 복원추출 : 한 번 추출된 원소를 다시 되돌려 놓은 다음 원소를 뽑는 방법

• 비복원추출 : 한 번 추출된 원소를 다시 되돌려 놓지 않고 다음 원소를 뽑는 방법

17.3.2 표본평균의 분포와 모평균의 추정

표본평균의 분포

Deﬁnition 17.3.10 (모평균, 모분산, 모표준편차). 모집단에서 조사하고자 하는 특성을 나타낸 확률변

수를 X 라 할 때

• X 의 평균 : 모평균 → symbol : m

• X 의 분산 : 모분산 → symbol : σ

• X 의 표준편차 : 모표준편차 → symbol : σ

Deﬁnition 17.3.11 (표본평균, 표본분산, 표본표준편차). 모집단에서 크기가 ˆn인 표본 x

, x

, ··· , x

ˆn

을 임의 추출하였을 때

• 추출한 표본의 평균 : 표본평균(Sample mean) → symbol :

• 추출한 표본의 분산 : 표본분산 → symbol : S

(Bessel’s correction 참조)

• 추출한 표본의 표준편차 : 표본표준편차 → symbol : S

X =

ˆn

+ X

+ ··· + X

ˆn

) =

ˆn

i=1

2. S

ˆn − 1

{(X

−

+ (X

−

+ ··· + (X

ˆn

−

} =

ˆn − 1

ˆn

i=1

−

3. S =

√

ˆn − 1

ˆn

i=1

−

Note (

X, S

, S).

X, S

, S는 표본에 따라 다른 값을 가지므로 각각 하나의 확률변수이다.

Deﬁnition 17.3.12 (a random sample of size n).

The random variables

constitute a random sample of size n if and only if:

1. the

are independent, and

2. the

are identically distributed, that is, each

comes from the same distribution f(x) with

mean m and variance σ

3. (i.e. E(X

) = m, V (X

) = σ

)

We say that the

are ”i.i.d.” (The ﬁrst i. stands for independent, and the i.d. stands for identically

distributed.)

Note (Hakchin Thought). 즉, 임의 추출이란 다음을 만족하도록 표본을 추출하는 것이다.

E(X

) = m, V (X

) = σ

17.3 통계적 추정 102

Theorem 17.3.1 (표본평균의 평균, 분산, 표준편차). 모평균이 m, 모분산이 σ

인 모집단에서 크기가

ˆn인 표본 X

, X

, ··· , X

ˆn

을 임의추출할 때, 표본평균

X의 평균, 분산, 표준편차는 다음과 같다.

•

X의 평균 : 표본평균의 평균 : E(

X) = m

•

X의 분산 : 표본평균의 분산 : V (

X) =

ˆn

•

X의 표준편차 : 표본평균의 표준편차 : σ(

X) =

√

ˆn

Proof. Starting with the deﬁnition of the sample mean, we have:

X) = E(

ˆn

+ X

+ ··· + X

ˆn

))

Then, using the linear operator property of expectation, we get:

X) =

ˆn

(E(X

) + E(X

) + ··· + E(X

ˆn

))

Now, the X

are identically distributed, which means they have the same mean m. Therefore, replacing

E(X

) with the alternative notation m, we get:

X) =

ˆn

(m + m + ··· + m)

Now, because there are ˆn m’s in the above formula, we can rewrite the expected value as:

X) =

ˆn

(ˆnm) = m

We have shown that the mean (or expected value, if you prefer) of the sample mean

X is m. That is,

we have shown that the mean of

X is the same as the mean of the individual X

. 

Proof. Starting with the deﬁnition of the sample mean, we have:

V (

X) = V (

ˆn

+ X

+ ··· + X

ˆn

))

Rewriting the term on the right so that it is clear that we have a linear combination of X

’s, we get:

V (

X) = V (

ˆn

+ ··· +

ˆn

)

Then, applying the theorem on a variance, we get:

V (

X) =

ˆn

V (X

) +

ˆn

V (X

) + ··· +

ˆn

V (X

ˆn

)

Now, the X

are identically distributed, which means they have the same variance σ

. Therefore,

replacing V (X

) with the alternative notation σ

, we get:

V (

X) =

ˆn

(σ

+ σ

+ ··· + σ

)

Now, because there are ˆn σ

’s in the above formula, we can rewrite the variance of

X as:

V (

X) =

ˆn

(ˆnσ

) =

ˆn



17.3 통계적 추정 103

Theorem 17.3.2 (표본평균의 분포). Let 표본의 크기 = ˆn

X ∼ N(m, σ

) ⇒

X ∼ N(m, (σ(

X))

) where (σ(

X))

ˆn

(17.1)

(¬(X ∼ N(m, σ

) ∨ (X ∼ N (m, σ

)) ∧ (ˆn  1) ⇒

X ≈∼ N(m,

ˆn

) (17.2)

모평균의 추정

Deﬁnition 17.3.13 (표본오차(평균)).

표본오차(평균) = |

X − m|

Deﬁnition 17.3.14 (모평균의 추정, 신뢰도, 신뢰구간).

• 추정 : 모집단에서 추출한 표본을 이용하여 모평균 등등 모집단의 참값을 추측하는 것

즉, 표본(의 값)

추측

−−→ 모집단(의 값)

• 모평균의 신뢰도(Conﬁdence Level) : 표본평균의 분포로부터 모평균이 포함될 구간을 얻을 때, 그

구간에 모평균이 포함될 확률

• 모평균의 신뢰구간(Conﬁdence Interval) : 모평균이 존재할 것으로 추정되는 구간

Theorem 17.3.3 (CI(m) : 모평균의 신뢰구간 (신뢰도 α%)).

X − k

√

ˆn

≤ m ≤

X + k

√

ˆn

CI(m) = [

X − kσ(

X),

X + kσ(

X)]

Proof.

P (−k ≤ Z

≤ k) =

100

⇐⇒ P (−k ≤

X − m

√

ˆn

≤ k) =

100

⇐⇒ P (

X − k

√

ˆn

≤ m ≤

X + k

√

ˆn

) =

100



Theorem 17.3.4 (모평균의 신뢰구간 (신뢰도 95%)).

X − 1.96

√

ˆn

≤ m ≤

X + 1.96

√

ˆn

Proof.

P (−k ≤ Z

≤ k) =

100

⇐⇒ P (−k ≤ Z

≤ k) =

100

17.3 통계적 추정 104

⇐⇒ P (−1.96 ≤ Z

≤ 1.96) =

100

⇐⇒ P (−1.96 ≤

X − m

√

ˆn

≤ 1.96) =

100

⇐⇒ P (

X − 1.96

√

ˆn

≤ m ≤

X + 1.96

√

ˆn

) =

100



Theorem 17.3.5 (모평균의 신뢰구간 (신뢰도 99%)).

X − 2.58

√

ˆn

≤ m ≤

X + 2.58

√

ˆn

Proof.

P (−k ≤ Z

≤ k) =

100

⇐⇒ P (−k ≤ Z

≤ k) =

100

⇐⇒ P (−2.58 ≤ Z

≤ 2.58) =

100

⇐⇒ P (−2.58 ≤

X − m

√

ˆn

≤ 2.58) =

100

⇐⇒ P (

X − 2.58

√

ˆn

≤ m ≤

X + 2.58

√

ˆn

) =

100



Note (신뢰구간 : 표본표준편차 S 활용).

실제로는 모표준편차 σ의 값을 모르는 경우가 대부분이다. 이 경우 표본의 크기 ˆn이 충분히 클 때 (ˆn ≥ 30),

표본표준편차 S의 실제 값인 s를 σ 대신 대입하여 근사적으로 모평균의 신뢰구간을 구할 수 있다.

17.3.3 표본비율의 분포와 모비율의 추정

표본비율의 분포

Deﬁnition 17.3.15 (모비율 p). 모집단에서 기대사건의 발생 비율

X = 기대사건의 발생횟수 (상수)

p =

Deﬁnition 17.3.16 (표본비율 ˆp). 표본집단에서 기대사건의 발생 비율

X = 표본에서 기대사건의 발생횟수

즉, 크기가 ˆn인 표본에서 기대사건이 발생한 횟수를 확률변수

X라 할 때, 그 사건에 대한 표본비율은

다음과 같다.

ˆp =

X/ˆn

17.3 통계적 추정 105

Theorem 17.3.6. 어떤 사건에 대한 모비율이 p인 모집단에서 크기가 ˆn인 표본을 임의추출할 때, 어떤

사건이 일어난 횟수

X는 이항분포 B(ˆn, p)를 따른다

X ∼ B(ˆn, p)

Note (

X, ˆp).

표본에서 어떤 사건이 일어난 횟수

X는 추출된 표본에 따라 다른 값을 가지므로 확률변수이고, 따라서

표본비율 ˆp도 확률변수이다.

Theorem 17.3.7 (표본비율의 평균, 분산, 표준편차).

E(ˆp) = E(

ˆn

) =

ˆn

· E(

X) =

ˆn

· ˆnp = p

V (ˆp) = V (

ˆn

) =

ˆn

· V (

X) =

ˆn

· ˆnpq =

ˆn

σ(ˆp) =

V (ˆp) =

ˆn

Proof. ∵

X ∼ B(ˆn, p)



Theorem 17.3.8. If ˆn  1,

X ≈∼ N(ˆnp, ˆnpq) (17.3)

X ≈∼ N(ˆnp, ˆnˆpˆq) (17.4)

Theorem 17.3.9 (표본비율 분포 - 모비율 사용). 모비율 p, 모집단에서 임의추출한 표본의 크기 ˆn,

표본비율 ˆp, ˆn  1 ⇒ ˆp ≈∼ N (p,

ˆn

), Z

ˆp

ˆp − p

ˆn

≈∼ N (0, 1) (where q = 1 − p)

Proof.

E(Z) = E(

ˆp − p

ˆn

) =

ˆn

(E(ˆp) − p) = 0

V (Z) = V (

ˆp − p

ˆn

) =

ˆn

(V (ˆp)) = 1



Note (ˆn  1).

ˆn이 충분히 크다는 것은 일반적으로 ˆnp ≥ 5, ˆnq ≥ 5일 때를 뜻한다.

Corollary 17.3.9.1 (표본비율 분포 - 표본비율 사용). 모비율 p, 모집단에서 임의추출한 표본의 크기

ˆn, 표본비율 ˆp, ˆn  1 ⇒ ˆp ≈∼ N (p,

ˆpˆq

ˆn

), Z

ˆp

ˆp − p

ˆpˆq

ˆn

≈∼ N (0, 1) (where ˆq = 1 − ˆp)

17.3 통계적 추정 106

모비율의 추정

Deﬁnition 17.3.17 (표본오차(비율)).

표본오차(비율) = |ˆp − p|

Theorem 17.3.10 (CI(p) : 모비율의 신뢰구간 (신뢰도 α% 경우)).

ˆp − k

ˆpˆq

ˆn

≤ p ≤ ˆp + k

ˆpˆq

ˆn

Proof.

P (−k ≤ Z

ˆp

≤ k) =

100

⇐⇒ P (−k ≤

ˆp − p

ˆpˆq

ˆn

≤ k) =

100

⇐⇒ P (ˆp − k

ˆpˆq

ˆn

≤ p ≤ ˆp + k

ˆpˆq

ˆn

) =

100



Theorem 17.3.11 (모비율의 신뢰구간 (신뢰도 95% 경우)).

ˆp − 1.96

ˆpˆq

ˆn

≤ p ≤ ˆp + 1.96

ˆpˆq

ˆn

Proof.

P (−k ≤ Z

ˆp

≤ k) =

100

⇐⇒ P (−k ≤ Z

ˆp

≤ k) =

100

⇐⇒ P (−1.96 ≤ Z

ˆp

≤ 1.96) =

100

⇐⇒ P (−1.96 ≤

ˆp − p

ˆpˆq

ˆn

≤ 1.96) =

100

⇐⇒ P (ˆp − 1.96

ˆpˆq

ˆn

≤ p ≤ ˆp + 1.96

ˆpˆq

ˆn

) =

100



Theorem 17.3.12 (모비율의 신뢰구간 (신뢰도 99% 경우)).

ˆp − 2.58

ˆpˆq

ˆn

≤ p ≤ ˆp + 2.58

ˆpˆq

ˆn

17.3 통계적 추정 107

Proof.

P (−k ≤ Z

ˆp

≤ k) =

100

⇐⇒ P (−k ≤ Z

ˆp

≤ k) =

100

⇐⇒ P (−2.58 ≤ Z

ˆp

≤ 2.58) =

100

⇐⇒ P (−2.58 ≤

ˆp − p

ˆpˆq

ˆn

≤ 2.58) =

100

⇐⇒ P (ˆp − 2.58

ˆpˆq

ˆn

≤ p ≤ ˆp + 2.58

ˆpˆq

ˆn

) =

100



18 기하기초

Note (각).

• 예각: 0도보다 크고 90도보다 작은 각

• 직각: 각의 크기가 90도인 각

• 둔각: 90도 보다 크고 180도 보다 작은 각

• 평각: 각의 크기가 180도인 각

• 우각: 한 점에서 두 반직선이 만날 때, 2개의 각이 생기는 데 크기가 큰 각

• 열각: 한 점에서 두 반직선이 만날 때, 2개의 각이 생기는 데 크기가 작은 각

• 여각: 두 각의 크기의 합이 90도 일 때, 한 각을 다른 각의 여각이라고 함

• 보각: 두 각의 크기의 합이 180도 일때, 한 각을 다른 각의 보각이라고 함

Deﬁnition 18.0.1 (꼬인 위치). 공간에서 두 직선이 만나지도 않고 평행하지도 않은 경우에 두 직선이

꼬인 위치에 있다고 한다.

18.1 피타고라스

• 3:4:5

• 5:12:13

• 7:24:25

• 8:15:17

18.2 원과직선

Theorem 18.2.1 (원주각 증명).

• 원주각 증명 링크

Theorem 18.2.2 (톨레미의 정리).

사각형 ABCD가 원에 내접할 때, 사각형의 대변의 길이의 곱의 합은 대각선의 길이의 곱과 같다, 그 역도

성립한다.

AB · CD + BC · DA = AC · BD

Theorem 18.2.3 (접선과 현이 이루는 각).

원의 접선과 그 접점을 지나는 현이 이루는 각의 크기는 그 각의 내부에 있는 호에 대한 원주각의 크기와

같다.

18.3 Hilbert’s axioms 109

18.3 Hilbert’s axioms

• Hilbert’s axioms

18.4 유클리드원론

Deﬁnition 18.4.1 (유클리드원론의 정의들 23).

1. 점은 부분이 없는 것이다.

2. 선은 폭이 없는 길이이다.

3. 선의 끝은 점이다.

4. 직선이란 그 위의 점이 한쪽 옆으로 간 선이다.

5. 면은 길이와 폭만 있는 것이다.

6. 면의 끝은 선이다.

7. 평면이란 그 위의 직선이 한쪽 옆으로 간 면이다.

8. 평면각이란 평면 위에 있으면서 서로 만나되 하나의 직선이 안 되도록 위치한 두 선 사이의 기울기

이다.

9. 각을 만드는 선이 둘 다 직선일 때, 그 각을 직선각이라고 한다.

10. 한 직선이 다른 한 직선과 만나고 있을 때, 이웃한 각이 서로 같으면 그 각을 직각이라고 한다.

11. 둔각(뭉툭한 각, 무딘 각)은 직각보다 큰 각이다.

12. 예각(뾰족한 각)은 직각보다 작은 각이다.

13. 둘레(경계)는 어떤 것의 끝이다.

14. 도형(꼴)은 둘레나 둘레들에 둘러싸인 것이다.

15. 원이란 평면 위의 한 점에서 그 위에 있으면서 선분의 길이가 언제나 같게 되는 하나의 선 에 의하여

둘러 쌓인 평면 도형이다.

16. 그 한 점을 원의 중심이라고 한다.

17. 원의 지름은 중심을 지나고 양쪽 모두 원둘레에서 만나는 직선이다. 지름은 원을 이등분한다.

18. 지름과 지름이 자른 원둘레가 둘러싼 도형을 반원이라고 부른다. 반원의 중심은 원 중심과 같다.

19. 다각형은 직선들로 둘러싼 도형이다. 삼각형은 직선 셋으로 사각형은 직선 넷으로 둘러싼 도형이다.

20. 삼변형 가운데 세 변이 같은 것을 등변삼각형, 두 변만이 같은 것을 이등변삼각형, 세 변이 모두 같지

않은 것을 부등변 삼각형이라고 한다.

21. 직각삼각형은 직각을 가진 삼각형이다. 둔각삼각형은 둔간을 가진 삼각형이다. 예각삼각형은 세

각이 모두 예각인 삼각형이다.

22. 정사각형은 변이 모두 같고 각이 모두 직각인 사각형이다. 직사각형은 각이 모두 직각인 사각형이

다. 마름모는 변이 모두 같은 사각형이다. 평행사변형은 마주 보는 변들이 서로 평행한 사각형이다.

이들 이외의 사각형들을 부등변 사각형이라 부른다.

18.4 유클리드원론 110

23. 평행선이란 같은 평면 위에 있으면서 양쪽을 아무리 연장하여도 어느 방향에서도 만나지 않는 직선

이다

19 일차변환과 행렬

Deﬁnition 19.0.1 (변환).

좌표평면 위의 점 P (x, y)를 점 P

, y

)으로 대응시키는 함수를

f : (x, y) → (x

, y

)

으로 나타내고, 함수 f를 좌표평면 위에서의 변환이라 한다.

Deﬁnition 19.0.2 (일차변환과 행렬). sdfdsafsad

Theorem 19.0.1 (일차변환의 성질). 일차변환 f와 2 × 1 행렬 X

, X

에 대하여

1. f (X

+ X

) = f(X

) + f(X

)

2. f (kX

) = kf(X

)

3. f (kX

+ hX

) = kf(X

) + hf(X

) where k, h ∈ R

Theorem 19.0.2 (대칭변환). fsadfsda

20 평면곡선

20.1 이차곡선

Deﬁnition 20.1.1 (2차곡선 - 원포타쌍). 계수가 실수인 두 일차식의 곱으로 인수분해 되지 않는 x와 y

에 대한 이차방정식, 즉, Ax

+By

+Cxy +Dx+Ey +F = 0 의 꼴로 나타내어지는 곡선을 이차곡선이라

한다. 이 때 고등학교 과정에서는 xy항이 없는 Ax

+ By

+ Cx + Dy + E = 0의 꼴의 이차곡선만 다룬다.

20.1.1 포물선

Deﬁnition 20.1.2 (포물선, a parabola). 평면 위의 한 정점 F 와 점 F 를 지나지 않는 한 정직선 l이

주어 질 때, 점 F 와 직선 l에 이르는 거리가 같은 점들의 집합을 포물선 이라고 한다

Deﬁnition 20.1.3 (포물선, a parabola). a parabola P = {P |P F = P l} where F : a ﬁxed point, the

focus, l: a ﬁxed line, the directrix

Deﬁnition 20.1.4 (포물선 관련). a vertex, an axis of symmetry

Theorem 20.1.1 (포물선의 방정식). 초점이 F(f, 0)이고 준선이 x=-f인 포물선의 방정식은

= 4fx (where f 6= 0)

이때 f의 부호에 따라 그래프의 개형과 특징은 다음과 같다.

Figure 20.1: Parabola

Proof. 어쩌구 저쩌구 

Note (원의 방정식 일반형).

+ By

+ Cx + Dy + E = 0 where (A = B 6= 0) ∧ (C

+ D

− 4AE > 0)

20.1 이차곡선 113

중심은 점 (

−C

−D

)이고 반지름의 길이는

√

+ D

− 4AE

Note (포물선의 방정식 일반형).

+ By

+ Cx + Dy + E = 0 (where (A = 0 ∧ BC 6= 0) ∨ (B = 0 ∧ AD 6= 0))

20.1.2 타원

Deﬁnition 20.1.5 (타원, an ellipse). 평면 위의 두 정점 F

, F

으로 부터의 거리의 합이 일정한 점들의

집합을 타원이라 한다. 이 때 두 점 F

, F

를 타원의 초점이라 한다.

Deﬁnition 20.1.6 (타원, an ellipse). an ellipse E = {P |P F

+ P F

= 2v} where F

, F

: ﬁxed points,

the foci v: 2v > F

> 0

Deﬁnition 20.1.7 (타원 관련). a vertex, 장축, 단축, 중심

Theorem 20.1.2 (타원의 방정식). 두 초점 F

(f, 0), F

(−f, 0)으로 부터의 거리의 합이 2v인 타원의

방정식은

= 1 (where v > b > 0, f

+ b

= v

)

이때 그래프의 개형과 특징은 다음과 같다.

Figure 20.2: Ellipse

Proof. 어쩌구 저쩌구 

Note (타원의 방정식 일반식).

+ By

+ Cx + Dy + E = 0 (where AB > 0, A 6= B)

20.1.3 쌍곡선

Deﬁnition 20.1.8 (쌍곡선, a hyperbola). 평면 위의 두 정점 F

, F

으로 부터의 거리의 차가 일정한

점들의 집합을 쌍곡선이라 한다. 이 때 두 점 F

, F

를 쌍곡선의 초점이라 한다.

Deﬁnition 20.1.9 (쌍곡선, an hyperbola). a hyperbola H = {P ||P F

− P F

| = 2v} where F

, F

ﬁxed points, the foci v: v > 0

20.1 이차곡선 114

Deﬁnition 20.1.10 (쌍곡선 관련). a vertex, 주축, 중심, 점근선

Theorem 20.1.3 (쌍곡선의 방정식). 두 초점 F

(f, 0), F

(−f, 0)으로 부터의 거리의 차가 2v인 쌍곡

선의 방정식은

−b

= 1 (where f > v > 0, v

+ b

= f

)

이때 그래프의 개형과 특징은 다음과 같다.

Figure 20.3: Hyperbola

Proof. 어쩌구 저쩌구 

Theorem 20.1.4 (쌍곡선의 점근선). 두 초점 F

(f, 0), F

(−f, 0)으로 부터의 거리의 차가 2v인 쌍곡

선의 방정식은

−b

= 1 (where f > v > 0, b

= f

− v

)

이고 이 때 점근선의 방정식은 아래와 같다.

y = ±

Theorem 20.1.5 (쌍곡선의 성질).

20.1 이차곡선 115

Figure 20.4: Hyperbola2

Proof.

1. 두 거리를 구해서 곱하면 증명된다.

2. 세 교점 찾아서 넓이 구하면 증명된다.

3. LEF T −−→

test

RIGHT

20.2 평면곡선의 접선 116



Theorem 20.1.6 (쌍곡선의 점근선). 두 초점 F

(0, f), F

(0, −f)으로 부터의 거리의 차가 2v인 쌍곡

선의 방정식은

−a

= 1 (where v > a > 0, a

= f

− v

)

이고 이 때 점근선의 방정식은 아래와 같다.

y = ±

Note (쌍곡선의 방정식 일반식).

+ By

+ Cx + Dy + E = 0 (where AB < 0)

20.2 평면곡선의 접선

20.2.1 음함수의 미분법과 접선의 방정식

Deﬁnition 20.2.1. 일반적으로 방정식 f(x, y) = 0 이 주어졌을 때, x와 y의 값의 범위를 적당히 조정하면

y는 x에 대한 함수가 된다. 이 때 y는 x의 음함수 표현이라고 한다.

20.2.2 매개변수로 나타낸 함수의 미분법과 접선의 방정식

20.2.3 기울기가 주어졌을 때 접선의 방정식

Theorem 20.2.1 (기울기가 m인 포물선의 접선).

1. y

= 4fx

y = mx +

2. x

= 4fy

y = mx +

(−m)

= mx − fm

Theorem 20.2.2 (기울기가 m인 타원의 접선).

= 1

y = mx ±

√

+ b

= 1

y = mx ±

√

+ v

Theorem 20.2.3 (기울기가 m인 쌍곡선의 접선).

−b

= 1

20.2 평면곡선의 접선 117

y = mx ±

√

− b

−a

= 1

y = mx ±

√

−m

+ v

21 공간벡터

Deﬁnition 21.0.1 (공간벡터의 성분). 어쩌구

Deﬁnition 21.0.2 (공간벡터의 내적). 어쩌구

Deﬁnition 21.0.3 (두 공간벡터가 이루는 각의 크기와 수직, 평행). 어쩌구

Deﬁnition 21.0.4 (공간벡터의 내적의 성질). 어쩌구

Note (

−→

P A ·

−−→

P B가 의미하는 것).

1. AB의 중점을 M ⇒

−→

P A ·

−−→

P B = |

−−→

P M|

− |

−−→

MB|

−→

P A ·

−−→

P B = 0 ⇒ P 는 AB를 지름으로 하는 원 위의 점

21.0.1 직선의 방정식

Theorem 21.0.1 (한 점을 지나고 주어진 벡터에 평행한 직선의 방정식).

점 A를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 ~u에 평행한 직선 l 위의 점을 P라 하자.

1. vector equation : 점 A, P의 위치벡터가 각각 ~a, ~p 일 때, 점 A를 지나고 벡터 ~u에 평행한 직선 l

의 방정식은

~p = ~a + t~u (where t ∈ R)

이때 벡터 ~u = (u

, u

)를 직선 l의 방향벡터라 한다.

2. parametric equation : x = x

+ u

t, y = y

+ u

t, z = z

+ u

3. Symmetry equation : 점 P의 좌표를 P(x, y, z)라 할 때, 점 A(x

, y

, z

)을 지나고 벡터 ~u =

, u

)에 평행한 직선 l의 방정식은 x = x

+ u

t, y = y

+ u

t, z = z

+ u

t, 이 때 매개변수

t를 소거하여 나타내면 다음과 같이 정리할 수 있다.

점 A(x

, y

, z

)을 지나고 벡터 ~u = (a, b, c)에 평행한 직선 l의 방정식은

x − x

y − y

z − z

(where abc 6= 0)

Deﬁnition 21.0.5 (두 직선의 위치 관계). 어쩌구

21.0.2 평면의 방정식

Theorem 21.0.2 (한 점을 지나고 주어진 벡터에 수직인 평면의 방정식).

점 A를 지나고 영벡터가 아닌 벡터 ~n에 수직인 평면 α 위의 점을 P라 하자.

1. 점 A, P의 위치벡터가 각각 ~a, ~p 일 때, 점 A를 지나고 벡터 ~n에 수직인 평면 α의 방정식은

(~p −~a) ·~n = 0

21 공간벡터 119

이때 벡터 ~n를 평면 α의 법선벡터, a normal vector라 한다.

2. 점 P의 좌표를 P(x, y, z)라 할 때, 점 A(x

, y

, z

)을 지나고 벡터 ~n = (n

, n

)에 수직인 평면

α의 방정식은 n

(x − x

) + n

(y − y

) + n

(z − z

) = 0

Note (평면의 방정식 일반식).

x + n

y + n

z + d = 0 (where n

, n

중 적어도 하나는 0이 아님)

Deﬁnition 21.0.6 (두 평면의 위치 관계). 어쩌구

Deﬁnition 21.0.7 (점과 평면 사이의 거리). 어쩌구

Deﬁnition 21.0.8 (벡터를 이용한 구의 방정식). 어쩌구

Question 21.0.1. 어쩌구

Solution. 저쩌구

22 공간도형

22.1 기본 지식

Note (공간도형의 기본 요소). 점, 직선, 평면

Theorem 22.1.1 (공간도형의 기본 성질). 육면체, 원뿔, 구 등과 같은 입체도형은 모두 점, 선, 면으로

이루어져 있다. 이와 같이 공간 내에 존재하는 도형을 공간도형이라 한다. 이 때 공간도형의 기본 성질은

점, 직선, 평면 사이의 관계를 말하며 그 내용은 다음과 같다.

1. 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나 존재한다.

2. 한 평면 위의 서로 다른 두 점을 지나는 직선은 이 평면에 포함된다.

3. 한 점을 공유하는 서로 다른 두 평면은 그 점을 지나는 한 직선을 공유한다.

Figure 22.1: 공간도형의 기본 성질

위의 기본 성질은 증명 없이 옳다고 인정하기로 하고 다른 명제들을 증명할 때 사용한다.

Theorem 22.1.2 (직선의 결정 조건).

1. 서로 다른 두 점

2. 평행하지 않은 두 평면

Figure 22.2: 직선의 결정 조건

Theorem 22.1.3 (평면의 결정 조건).

1. 한 직선 위에 있지 않은 세 점

2. 한 직선과 그 위에 있지 않은 한 점

3. 한 점에서 만나는 두 직선

4. 평행한 두 직선

22.1 기본 지식 121

Figure 22.3: 평면의 결정 조건

Proof.

1. 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C는 한 평면 α 를 결정한다.

공간도형의 기본 성질인 한 직선 위에 있지 않은 서로 다른 세 점을 지나는 평면은 오직 하나 존재

한다. 에 의해 오른쪽 그림과 같이 한 직선 위에 있지 않은 세 점 A, B, C는 한 평면 α를 결정한다.

Figure 22.4: blur blur

2. 한 직선 l과 그 위에 있지 않은 한 점 A는 한 평면 α를 결정한다.

오른쪽 그림과 같이 직선 l 위의 서로 다른 임의의 두 점을 B, C라 하면 세 점 A, B, C는 한 직선

위에 있지 않으므로 한 평면 α를 결정한다. 이때 직선 l위의 두 점 B, C가 평면 α위에 있으므로 직선

l은 평면 α에 포함된다. 따라서 한 직선 l과 그 위에 있지 않은 한 점 A는 한 평면 α를 결정한다.

Figure 22.5: blur blur

3. 한 점 A에서 만나는 두 직선 l, m은 한 평면 α를 결정한다.

오른쪽 그림과 같이 점 A가 아닌 직선 l 위의 임의의 점을 B라 하고, 직선 m 위의 임의의 점을 C

라 하면 세 점 A, B, C는 한 직선 위에 있지 않으므로 한 평면 α를 결정한다. 이때 직선 l 위의 두

점 A, B가 평면 α위에 있으므로 직선 l은 평면 α에 포함되고, 직선 m 위의 두 점 A, C가 평면 α

위에 있으므로 직선 m은 평면 α에 포함된다. 따라서 한 점 A에서 만나는 두 직선 l, m은 한 평면 α

를 결정한다.

Figure 22.6: blur blur

4. 평행한 두 직선 l, m은 한 평면 α를 결정한다.

오른쪽 그림과 같이 직선 m 위의 임의의 점을 A라 하면 점 A는 직선 l 위에 있지 않으므로 직선 l

과 점 A는 한 평면 α를 결정한다. 한편 두 직선 l, m을 포함하는 평면은 직선 l과 직선 m 위의 점 A

를 포함하므로 이 평면은 평면 α와 같다. 따라서 평행한 두 직선 l, m은 한 평면 α를 결정한다.

22.2 위치 관계 122

Figure 22.7: blur blur



Example 22.1.1 (평면 결정). 오른쪽 그림과 같은 직육면체에서 다음은 평면 ABCD를 결정한다.

• 세 점 A, B, C

• 점 B와 직선 CD

• 직선 AD와 직선 CD

• 직선 AB와 직선 CD

Figure 22.8: example

Deﬁnition 22.1.1 (교선). 서로 다른 두 평면이 만나서 공유하는 직선을 두 평면의 교선이라 한다.

22.2 위치 관계

Theorem 22.2.1 (서로 다른 두 직선의 위치 관계).

• 만난다.

한 점에서 만난다.

• 만나지 않는다.

평행하다.

꼬인 위치에 있다. (skew)

Theorem 22.2.2 (직선과 평면의 위치 관계).

• 만난다.

포함된다.

한 점에서 만난다.

• 만나지 않는다.

평행하다.

Theorem 22.2.3 (서로 다른 두 평면의 위치 관계).

22.3 평행과 수직 123

• 만난다.

교선이 존재한다.

• 만나지 않는다.

평행하다.

22.3 평행과 수직

22.3.1 직선과 평면의 평행과 수직

Lemma 22.3.0.1 (직선과 평면의 평행 관계).

Figure 22.9: 어쩌구

Theorem 22.3.1 (직선과 평면의 평행 관계0).

1. (α k β) ∧ (l = α ∩ γ) ∧ (m = β ∩γ) ⇒ (l k m)

(α k β) ⇒ (α ∩ γ) k (β ∩ γ)

2. (l k α) ∧ (l ⊆ β) ∧ (m = α ∩ β) ⇒ (m k l)

(l k α) ∧ (l ⊆ β) ⇒ (l k α ∩ β)

3. (l k α) ∧ (l ⊆ β) ∧ (l ⊆ γ) ∧ (m = α ∩ β) ∧ (n = α ∩γ) ⇒ (m k n)

4. (α k β) ∧ (l ⊆ α) ⇒ (l k β)

5. (l k m) ∧(l ⊆ α) ∧(m * α) ⇒ (α k m)

6. (P /∈ α) ∧ ({P } = l ∩ m) ∧ (l, m k α) ⇒ (5lm k α)

7. (α k β) ∧ (β k γ) ⇒ (α k γ)

22.3 평행과 수직 124

8. (a k c) ∧ (b k c) ⇒ (a k b)

Theorem 22.3.2 (직선과 평면의 평행 관계1).

1. (l k m) ∧(l ⊆ α) ∧(m * α) ⇒ (α k m)

Figure 22.10: 어쩌구

proof ¬(α k m) ⇒ {P } = α ∩ m ⇒ P ∈ l = α ∩ 5lm ⇒ P ∈ l ∩ m ⇒ ⊥ (∵ l k m)

2. (l k α) ∧ (l ⊆ β) ∧ (m = α ∩ β) ⇒ (m k l)

Figure 22.11: 어쩌구

proof l k α ⇒ l ∩ α = ∅ (∵ m ⊆ α) ⇒ (l k m ∨ skew(l, m)) ⇒ l k m (∵ l, m ⊆ β)

3. (P /∈ α) ∧ ({P } = l ∩ m) ∧ (l, m k α) ⇒ (5lm k α)

Figure 22.12: 어쩌구

proof ¬(5lm k α) ⇒ n = 5lm ∩ α ⇒ n ⊆ α ⇒ l k n ∧ n k m ⇒ l k m ⇒ ⊥ (∵ {P } = l ∩ m)

4. (α k β) ∧ (l = α ∩ γ) ∧ (m = β ∩γ) ⇒ (l k m)

Figure 22.13: 어쩌구

proof α k β ⇒ α ∩β = ∅ ⇒ l ∩ m = ∅ (∵ l ⊆ α ∧ m ⊆ β) ⇒ l k m ∨ skew(l, m) ⇒ l k m (∵ l, m ⊆ γ)

22.3 평행과 수직 125

5. (l k α) ∧ (l ⊆ β) ∧ (l ⊆ γ) ∧ (m = α ∩ β) ∧ (n = α ∩γ) ⇒ (m k n)

Figure 22.14: 어쩌구

proof l k α ⇒ l ∩ m = ∅ ⇒ l k m (∵ l, m ⊆ β) ⇒ m k γ (∵ l ⊆ γ) ⇒ m ∩n = ∅ (∵ n ⊆ γ) ⇒ m k n (∵

m, n ⊆ α)

6. (α k β) ∧ (β k γ) ⇒ (α k γ)

Figure 22.15: 어쩌구

proof ¬(α k γ) ⇒ (l, m ⊆ α) ∧ ({P } = l ∩ m) ⇒ l k β ∧ m k β (∵ α k β) ⇒ l ∩ γ 6= ∅ ∧ m ∩ γ 6= ∅ (∵

¬(α k γ)) ⇒ l ∩β 6= ∅ ∧ m ∩ β 6= ∅ (∵ β k γ) ⇒ ⊥ (∵ l k β ∧m k β) ⇒ α k γ (∵ l, m ⊆ α)

7. (a k c) ∧ (b k c) ⇒ (a k b)

Figure 22.16: 어쩌구

proof 세 직선이 한 평면 위에 있는 경우는 명백하므로 한 평면 위에 있지 않은 경우를 생각한다. a k c

이므로 두 직선 a, c는 한 평면 α를 결정한다. 또, 직선 a 위의 한 점 A 와 직선 b가 결정하는 평면을

β라 하고 두 평면 α와 β의 교선을 a

이라 하면 a

k c이다. 따라서 두 직선 a, a

은 점 A를 지나고

모두 직선 c에 평행하므로 일치한다. 또, a

k b이므로 a k b 이다.

Proof. visang p166 

Theorem 22.3.3 (직선과 평면의 평행 관계2).

1. 두 직선 l과 m이 평행할 때, l을 포함하고 m을 포함하지 않는 평면 α는 직선 m과 평행하다.

2. 직선 l과 평면 α가 평행할 때, 직선 l을 포함하는 평면 β와 평면 α의 교선 m은 l과 평행하다.

3. 평면 α위에 있지 않은 한 점 P 를 지나는 두 직선 l, m이 모두 평면 α에 평행하면 두 직선 l, m에

의하여 결정되는 평면 β는 평면 α와 평행하다.

22.3 평행과 수직 126

4. 평행한 두 평면 α, β가 다른 평면 γ와 만나서 생기는 두 교선을 각각 l, m이라 할 때, 두 직선 l, m

은 평행하다.

5. 직선 l이 평면 α에 평행하면 직선 l을 포함하는 두 평면 β, γ와 평면 α의 교선을 각각 m, n이라 할

때, 두 직선 m, n은 평행하다.

6. 서로 다른 세 평면 α, β, γ에 대하여 α k β, β k γ이면 α k γ이다.

7. 서로 다른 세 직선 l, m, n에 대하여 l k m, m k n이면 l k n이다.

Deﬁnition 22.3.1 (꼬인 위치에 있는 두 직선이 이루는 각).

ssen page 178

오른쪽 그림과 같이 꼬인 위치에 있는 두 직선 l, m에 대하여 직선 l을 직선 m과 한 점에서 만나도록 평

행이동한 직선을 l

이라 하면 두 직선 l

, m은 한 평면을 결정한다. 이때 두 직선 l

과 m이 이루는 각을 두

직선 l, m이 이루는 각이라 한다. 특히 두 직선 l, m 이 이루는 각의 크기가 90도 일때 두 직선 l, m은 서로

수직이라 하며, 이것을 기호로 l ⊥ m 과 같이 나타낸다.

Figure 22.17: 삼수선의 정리

Deﬁnition 22.3.2 (직선과 평면이 이루는 각).

ssen page 178

오른쪽 그림과 같이 직선 l과 평면 α가 한 점 O에서 만날 때, 직선 l위의 점 A에서 평면 α에 내린 수선의

발을 H라 하면 ∠AOH를 직선 l과 평면 α가 이루는 각이라 한다.

Figure 22.18: 삼수선의 정리

Deﬁnition 22.3.3 (직선과 평면의 수직).

직선 l이 평면 α 위의 모든 직선과 수직일 때, 직선 l은 평면 α와 수직이라 한다. 기호로 l ⊥ α 와 같이

나타낸다. 이 때 직선 l을 평면 α의 수선이라고 하며, 직선 l과 평면 α가 만나는 점 O를 수선의 발이라고

한다.

Theorem 22.3.4 (직선과 평면의 수직 관계). 직선 l이 평면 α와 점 O에서 만나고 점 O를 지나는 평면

α 위의 서로 다른 두 직선 m, n과 각각 수직이면 직선 l은 평면 α와 수직이다.

Proof. visang p167

22.4 삼수선의 정리 127

Figure 22.19: 직선과 평면의 수직에 대한 정리



22.4 삼수선의 정리

Theorem 22.4.1 (theorem of three perpendiculars - Hakchin).

B C

Figure 22.20: 삼수선의 정리

• (l ⊥ a) ∧(α ⊥ b) ⇒ (c ⊥ l)

• (α ⊥ b) ∧ (c ⊥ l) ⇒ (l ⊥ a)

• (c ⊥ l) ∧ (l ⊥ a) ∧ (a ⊥ b) ⇒ (α ⊥ b)

Proof. 삼수선의 정리는 세 수선 사이의 관계에 대한 정리로, 공간도형에 대한 문제 해결에 자주 이용되는

중요한 정리이다. 삼수선의 정리를 증명해 보자.

22.4 삼수선의 정리 128

1. 1) (l ⊆ α) ⇒ (l ⊥ b)

2) (l ⊥ 5ABC) ⇒ (c ⊥ l)

2. 1) (l ⊆ α) ⇒ (l ⊥ b)

2) (l ⊥ 5ABC) ⇒ (l ⊥ a)

3. 1) (c ⊥ l) ∧ (l ⊥ a) ⇒ (l ⊥ 5ABC)

2) (l ⊥ b) ∧(a ⊥ b) ⇒ (α ⊥ b)



Theorem 22.4.2 (삼수선의 정리

참고 : 삼수선의 정리등 읽어보기

• (l ⊥ AO) ∧ (α ⊥ OP ) ⇒ (P A ⊥ l)

• (α ⊥ OP ) ∧ (P A ⊥ l) ⇒ (l ⊥ AO)

• (P A ⊥ l) ∧ (l ⊥ AO) ∧ (AO ⊥ OP ) ⇒ (α ⊥ OP )

Figure 22.21: 삼수선의 정리

Proof. 삼수선의 정리는 세 수선 사이의 관계에 대한 정리로, 공간도형에 대한 문제 해결에 자주 이용되는

중요한 정리이다. 삼수선의 정리를 증명해 보자.

1. (l ⊥ AO) ∧ (α ⊥ OP )

(l ⊆ α) ⇒ (l ⊥ OP )

따라서 (l ⊥ 5P AO) ⇒ (P A ⊥ l)

2. (α ⊥ OP ) ∧ (P A ⊥ l)

(l ⊆ α) ⇒ (l ⊥ OP )

따라서 (l ⊥ 5P AO) ⇒ (l ⊥ AO)

3. (P A ⊥ l ∧ l ⊥ AO ⇒ l ⊥ 5P AO) ⇒ l ⊥ OP

(AO ⊥ OP ) ⇒ (OP 는 α위의 두 직선 AO와 l에 수직이므로 α ⊥ OP )



theorem of three perpendiculars

22.5 이면각 129

22.5 이면각

Deﬁnition 22.5.1 (반평면). 평면 위의 한 직선은 그 평면을 두 부분으로 나누는데 그 각각의 부분을

반평면이라 한다.

Deﬁnition 22.5.2 (이면각). 오른쪽 그림과 같이 직선 l을 공유하는 두 반평면 α, β로 이루어지는 도형을

이면각이라 한다. 이 때 직선 l을 이면각의 변, 두 반평면 α, β를 각각 이면각의 면이라 한다. 또한 이면각의

변 l 위의 한 점 O를 지나고 직선 l에 수직인 두 반 직선 OA, OB를 두 반평면 α, β위에 각각 그을 때,

∠AOB의 크기는 점 O의 위치에 관계없이 일정하다. (비상 기벡 p174) 이 일정한 각의 크기를 이면각의

크기라 한다.

Figure 22.22: dihedral angle

Deﬁnition 22.5.3 (두 평면이 이루는 각의 크기). 서로 다른 두 평면이 만나면 네 개의 이면각이 생기는데

이 중 한 이면각의 크기를 두 평면이 이루는 각의 크기라 한다.

Note (두 평면이 이루는 각의 크기). 두 평면이 이루는 각은 보통 크기가 작은 쪽의 각을 말한다.

Note (각&이면각). 평면도형으로서의 각은 두 반직선으로 이루어진 도형을 의미하고, 공간도형으로서의

이면각은 두 반평면으로 이루어진 도형을 의미한다.

Theorem 22.5.1 (두 평면의 수직에 대한 정리).

1. l ⊥ α ∧ l ⊆ β ⇒ β ⊥ α

직선 l이 평면 α에 수직이면 직선 l을 포함하는 평면 β는 평면 α와 수직이다.

Figure 22.23: 어쩌구

2. α ⊥ β ∧A ∈ β ∧O = F ootp(A, α ∩ β) ⇒ AO ⊥ α

α ⊥ β ∧A ∈ β ∧(A에서 α, β의 교선에 내린 수선의 발을 O) ⇒ AO ⊥ α

두 평면 α, β가 서로 수직일 때, 평면 β위의 한 점 A에서 두 평면 α, β의 교선에 내린 수선의 발을

O라 하면 AO ⊥ α 이다.

22.6 정사영, orthograph 130

Figure 22.24: 어쩌구

3. α ⊥ β ∧α ⊥ γ ∧l = β ∩ γ ⇒ l ⊥ α

평면 α에 수직인 두 평면 β, γ의 교선을 l이라 하면 l ⊥ α 이다.

Figure 22.25: 어쩌구

Proof. visang p175, ssen p186 

22.6 정사영, orthograph

Deﬁnition 22.6.1 (정사영). 평면 α 위에 있지 않은 한 점 A에서 평면 α에 내린 수선의 발을 A

이라 할

때, 점 A

을 점 A의 평면 α위로의 정사영이라 한다. 일반적으로 도형 F 에 속하는 각 점의 평면 α 위로의

정사영 전체로 이루어진 도형 F

을 도형 F 의 평면 α 위로의 정사영이라 한다.

Note (정사영). 정사영(正射影)은 빛을 평면에 수직으로 비추었을 때 생기는 그림자를 의미한다.

Deﬁnition 22.6.2 (직선과 평면이 이루는 각 - 정사영을 이용한 정의).

직선 l과 평면 α가 한 점에서 만나고 수직이 아닐 때, 직선 l의 평면 α 위로의 정사영을 직선 l

이라 하면

두 직선 l과 l

이 이루는 각을 직선 l과 평면 α가 이루는 각이라 한다.

Note (정사영 관련). 일반적으로 직선의 평면위로의 정사영은 한 점 또는 직선이고, 다각형의 평면 위로의

정사영은 선분 또는 다각형이다.

Theorem 22.6.1 (정사영의 길이). 선분 AB의 평면 α위로의 정사영을 선분 A

이라 하고, 직선 AB

와 평면 α가 이루는 각의 크기를 θ라 하면

= ABcosθ

Figure 22.26: 정사영의 길이

22.6 정사영, orthograph 131

Proof.

Figure 22.27: 정사영의 길이



Theorem 22.6.2 (정사영의 넓이). 평면 β위에 있는 도형의 넓이를 S, 이 도형의 평면 α위로의 정사영의

넓이를 S

이라 할 때, 두 평면 α, β가 이루는 각의 크기를 θ(0 ≤ θ ≤

)라 하면

= Scosθ

Figure 22.28: 정사영의 넓이

Proof.

22.7 공간좌표 132

Figure 22.29: 정사영의 넓이



22.7 공간좌표

22.7.1 Reference Sites

• Octant (solid geometry)

Note (구의 방정식 일반형).

+ y

+ z

+ Ax + By + Cz + D = 0 where (A

+ B

+ C

− 4D > 0)

중심은 점 (

−A

−B

−C

)이고 반지름의 길이는

√

+ B

+ C

− 4D

23 평면벡터

23.1 벡터의 연산

23.2 평면벡터의 성분과 내적

23.3 평면 운동

Theorem 23.3.1 (직선 운동에서의 속도와 가속도).

수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 t에서의 위치 x가 x = f(t)라 하면, 시각 t에서 점 P의 속도 v(t)와

가속도 a(t)는 다음과 같다.

1. v(t) =

= f

(t)

2. a(t) =

v(t) = f

(t)

Theorem 23.3.2 (평면 운동에서의 속도와 가속도).

좌표평면 위의 점 P (x, y)의 시각 t에서의 위치가 함수 x = f(t), y = g(t)로 나타내어진다고 가정한다.

1. P (x, y) ⇒

−→

v = (v

, v

) = (

) = (f

(t), g

(t))

2. P (x, y) ⇒

−→

a = (a

, a

) = (

) = (f

(t), g

(t))

Theorem 23.3.3 (직선 운동 - 점의 위치와 움직인 거리).

수직선 위를 움직이는 점 P 의 시각 t에서의 위치를 x = f(t)라 하면, 그 때의 속도는 v(t) =

= f

(t)

이다.

1. 점 P 의 위치 (시각 t)

f(t) = f(t

)(= x

) +

v(x)dx

2. 점 P 의 위치의 변화량(변위) (t = a → t = b)

f(b) − f(a) =

v(t)dt

3. 점 P 의 실제로 움직인 거리(이동거리) (t = a → t = b)

s =

|v(t)|dt

Theorem 23.3.4 (평면 운동 - 점의 위치와 움직인 거리).

좌표평면 위의 점 P (x, y)의 시각 t에서의 위치를 x = f(t), y = g(t)라 하고, 그것의 위치벡터를

−→

p 라

하자.

23.3 평면 운동 134

1. 점 P 의 위치 (시각 t)

−→

p = (x, y) = (f(t), g(t)) = (f (t

), g(t

)) + (

(x)dx,

(y)dy)

2. 점 P 의 위치의 변화량 (t = a → t = b)

(f(b), g(b)) − (f(a), g(a)) = (

(t)dt,

(t)dt)

3. 점 P 의 실제로 움직인 거리 (t = a → t = b)

s =

−→

v |dt =

|(f

(t), g

(t))|dt

Partl [3] has proposed that ...

Bibliography

[1] ...

[2] ...

[3] H. Partl: German T

X, TUGboat Volume 9, Issue 1 (1988)

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중복순열, 85